2段階、3段階に割合を考える
- 例題１
- 上から落とすと、いつも同じ割合ではね上がるボールがあります。3mの高さから落としたとき、1m20cmの高さまではね上がりました。このボールをある高さから落としたところ、3回目にはね上がった高さが16cmになりました。はじめ何cmの高さから落としましたか。
- 解説
-
こんな図を想定できた？
はい！
300cmから落として、120cmはねあがる。これはつまり、落とした高さの、\(\displaystyle \frac{120}{300}=\displaystyle \frac{2}{5}\) まではねあがるということ。
この \(\displaystyle \frac{2}{5}\) 倍という分数のかけ算が連続してるってことですね。
その通り。
□\(×\displaystyle \frac{2}{5}×\displaystyle \frac{2}{5}×\displaystyle \frac{2}{5}=\)16
つまり、□＝16×\(\displaystyle \frac{5}{2}×\displaystyle \frac{5}{2}×\displaystyle \frac{5}{2}\)=250
答えは250cmです。うん、正解です。
ところで連比でも解けるでしょ。
あー！言われてみればそうですね。
うん、でも連比で解く方が面倒じゃないかな？
分数のかけ算のほうが有効なときもある。
前の単元でも言ったのだけれど、どちらでもできることが理想だよ。
問題によって、より楽な方を選べれば最高だよ。どちらも同じ解き方で、見た目が違うだけなのです。
- 例題２
- A球，B球を真下に落とすと，A球は落ちた高さの \(\displaystyle \frac{3}{4}\) ，B球は \(\displaystyle \frac{2}{3}\) の高さまではね返ります。A球，B球を同じ高さから真下に落としたら，２回目にはね返った高さの差が34cmでした。はじめに落とした高さは□cmです。
- 解説
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分数のかけ算で表せそうです。
（Ａはじめ）\(×\displaystyle \frac{3}{4}×\displaystyle \frac{3}{4}\)＝（A２回目）
（Bはじめ）\(×\displaystyle \frac{2}{3}×\displaystyle \frac{2}{3}\)＝（B２回目）
となります。
で・・・次は・・・わかりません。
かけ算の式は、「比」が与えられたのと同じことだよ。（Ａはじめ）\(×\displaystyle \frac{3}{4}×\displaystyle \frac{3}{4}\)＝（A２回目）
なんだから、
（Ａはじめ）\(×\displaystyle \frac{9}{16}\)＝（A２回目）
つまり・・
Ａはじめが⑯で、Ａ２回目が⑨です。
なるほど。
じゃあ、
（Bはじめ）\(×\displaystyle \frac{2}{3}×\displaystyle \frac{2}{3}\)＝（B２回目）
より、
（Bはじめ）\(×\displaystyle \frac{4}{9}\)＝（B２回目）Ｂはじめが９で、Ｂ２回目が４だ。
そうだよ。
で、Ａ、Ｂは同じ高さから落としたのだから・・・Aのはじめ⑯＝Bのはじめ９
異なる2つの比がつながった！
連比をします。
改めて、
AとBのはじめ＝144
A２回目＝81
B２回目＝64
とすると、
A２回目とB２回目の高さの差は、
81－64=17
つまり、
17＝34cm
17で割って、
１＝２cmだ。はじめに落とした高さは、144=288cm
求まりました。288cmです！
正解だよ！
さらに理解を深めるために、異なる道筋の解き方も見ておこう。
まず、
（Ａはじめ）\(×\displaystyle \frac{3}{4}×\displaystyle \frac{3}{4}\)＝（A２回目）
から、Ａはじめが⑯で、Ａ２回目が⑨とおけた。次に、
（Bはじめ）\(×\displaystyle \frac{2}{3}×\displaystyle \frac{2}{3}\)＝（B２回目）
なのだけれど、
Ａはじめ＝Ｂはじめ＝⑯なのだから、⑯\(×\displaystyle \frac{2}{3}×\displaystyle \frac{2}{3}\)＝（B２回目）
これを計算すれば、（B２回目）＝〇\(\displaystyle \frac{64}{9}\) となる。
Ａ２回目の⑨と、Ｂ２回目の〇\(\displaystyle \frac{64}{9}\) の差が、34ｃｍなのだから、
⑨－〇\(\displaystyle \frac{64}{9}\)＝〇\(\displaystyle \frac{17}{9}\)
より、
〇\(\displaystyle \frac{17}{9}\)＝34ｃｍ17で割って、
〇\(\displaystyle \frac{1}{9}\)＝2ｃｍ
９倍して、
①＝18cm
とわかる。はじめの高さは⑯なので、⑯＝18×16＝288ｃｍ
求まりました。なるほど。
このような割合・比の問題は、どこでもいいから①とか⑤とか、勝手においてしまえばいいのです。
もちろん１でもいい。記号は〇でも□でも△でもいい。そうすれば、あとは自動的に計算が進みます。
計算が楽になるような数値を決めて、計算をスタートするのがいいのだけれど、別にどんな値で計算をはじめても問題は解けます。
なぜなら、比は変わらないからです。
なんのことか、よくわからないです・・・
今回は、
（Ａはじめ）\(×\displaystyle \frac{9}{16}\)＝（A２回目）
（Bはじめ）\(×\displaystyle \frac{4}{9}\)＝（B２回目）ということだった。
分からない値は、
（ア）(Ａはじめ)＝(Ｂはじめ)
（イ）（A２回目）
（ウ）（B２回目）
の３つ。どれでもいいから、勝手に数値を①とか⑤とか、なんでもいいから決めてしまえば、残り２つは自動的に決まるよね。
そして、その３つの比は絶対に一定だ。はじめにおいた数値とは無関係で決まる。でも、もちろん、できるだけ計算が楽になるようにスタートした方がいいわけですね。
今回は、分母が１６と９だから、どちらも約分できる数をはじめの高さとすれば計算が楽になりそうですね。
１６と９の最小公倍数、144としたら楽そうです。
Ａはじめ144\(×\displaystyle \frac{9}{16}\)＝（A２回目）81
Ｂはじめ144\(×\displaystyle \frac{4}{9}\)＝（B２回目）64
高さの差は17＝34cm
より、１＝２ｃｍだ！うん、連比で解いたときと同じ値になったね。
はじめの高さを144という計算が楽になる値にしなくとも、この問題は解ける。
この「問題の仕組み」を理解することが大事だよ。