２つの異なる比をそろえる方法
- 例題１
- ＡとＢの所持金の比は４：５、ＢとＣの所持金の比は３：４のとき、ＡとＢとＣの所持金の比を求めなさい。
- 解説
-
ＡとＢの所持金の比は４：５だから、
Ａを④、Ｂを⑤とします。で次は、ＢとＣの所持金の比は３：４だから、
Ｂを③、Ｃを④として・・・
あれ、先生！！
Ｂは⑤なのか③なのか、おかしなことになりました！
おかしいのは学くんの解き方がおかしいからだよ。
⑤っていうのは線分図を５山に分けたっていう意味だったよね。
Ｂを３つにわけるならば、その1つ分は①じゃだめだよね。こういうときは、
①とはちがう1山だという意味を込めて、１ とする。
じゃあ、Ａ＝④で、Ｂ＝⑤＝３で、Ｃ＝４ということか。
どうすればいいのかな？
ポイントは、「Ｂを5等分するのか、３等分するのか、どっちにするのか」というところだ。コツを教えるよ。
ずばり、「5等分にも３等分にも対応できる、15等分とする」改めて、Ｂ=⑮としてみよう。
⑮の５等分は③、⑮の３等分は⑤だ。
なるほど、Ａ：Ｂ：Ｃ＝12：15：20だ。
うん、それで正解だよ。
ところで。
上の解法と実質同じ解き方を、すっきりと表示する方法があるんだ。そもそも⑤とか⑮とかは、線分図を５等分、あるいは15等分したときの１山を表している。
それさえわかっていれば、線分図を15等分した図をかかなくてもＯＫだったわけだ。
以前にも学習したことだけど、とても便利な表記だよね。それをふまえて、線分図なしですっきりと解いてしまおう。
ＡとＢの比は４：５、
ＢとＣの比は３：４
これを下のようにかきます。
Ｂは５なのか３なのか。
結局どちらでもないっていうことを再確認してね。
Ｂという線分図を何山に分けようと自由だからね。このように、２種類の比のどちらにも登場しているのがＢ、
この共通部分Ｂを、２つの比の最小公倍数にするのがコツ。
今回の例なら15にしてみよう。
ＡとＢの比は４：５＝１２：１５だ。
ＢとＣの比は３：４＝15：20
これで、求まったね。
Ａ：Ｂ：Ｃ＝12：15：20だ。
この解法を「連比」と呼んでいる先生もとても多いよ。
連比とは3つ以上を並べる比のことだけど、今回のように最小公倍数でそろえるこの解法を「連比」と呼んでいることが多い。今後、先生もこれを「連比」と呼ぶことにするよ。
ポイントをくりかえすと、
２種類の比は共通部分を最小公倍数にして、まとめて連比にできる！なるほど。スッキリ解けますね。
うん。このまとめ方はとても便利だから、しっかり使いこなせるようになろうね。線分図で解いたときと「考え方はまったく同じ解き方」なんだけど、表記がすっきりと便利になった解き方だよ。
さらにもう１つの解き方を確認しておきたい。
「比・割合」というのは、結局は「～倍」を表しているにすぎないのだったよね。
これは最重要ポイントなんだけど、覚えているよね。あ、はい。そうでしたね。
だから、かけ算をするだけでこの問題は解ける。
ＡとＢの比は４：５なのだから、
Ａ＝④、Ｂ＝⑤とする。
次に、ＢとＣの比は３：４とある。
これをかけ算の式に書き直してみて。Ｂ× \(\displaystyle \frac{4}{3}\)=C
ですね。保護者さまへこれが即答できない生徒がほとんどです。これは「暗記」事項なのです。ひらめきでもなんでもありません！しっかりと暗記させましょう。
あ、Ｂ＝⑤だから、
⑤× \(\displaystyle \frac{4}{3}\)=○\(\displaystyle \frac{20}{3}\)
ですね。Ａ＝④、Ｂ＝⑤、Ｃ＝○\(\displaystyle \frac{20}{3}\)
だから、
Ａ：Ｂ：Ｃ＝４：５：\(\displaystyle \frac{20}{3}\)＝12：15：20大正解。
比は分数（のかけ算）にすぎないっていう基本を忘れないでね。
楽勝だよね。このタイプの問題を、分数のかけ算で処理しても、「連比」で処理してもどちらでも構わないよ。
ただね、「連比」ですっきりとまとめられる問題の方がやや多いかなあ。
もちろん分数のかけ算をした方がすっきり解ける問題だってある。
どちらでも解けることが大事だよ。