逆比とは何かを学ぶ
- 例題１
- Aの３倍とＢの４倍が等しいとき、ＡとＢの比を求めなさい。
- 解説
-
Ａ×３＝Ｂ×４
ということですね。
そうだね。これも１つ前の単元で学習した等式だね。
問題文から等式がつくれるなんて成長しているね！Ａ×３＝Ｂ×４が成り立つのは直感的に、Ａ＝④、Ｂ＝③のときとわかります。
ＡＢ
④×３＝③×４逆にすればよいことがわかります。
九九もそうでした。「四三（シサン）12」と「三四（サンシ）12」です。答えは、Ａ：Ｂ＝４：３です。
うん正解。簡単だったね。
この例題のように「２つのかけ算が等しい」ならば、逆の数をかけている、ということはあたりまえの事実として暗記しておいてね。では、さらに別の見方もしておくよ。
上の解き方は結果的に
ＡＢ
④×３＝③×４＝⑫となっていて、⑫でＡとＢが結ばれています。
そして、ＡとＢを結ぶ値はどんな数値でもいいわけです。例えば、①にすると、
Ａ×３＝Ｂ×４＝①このとき、
Ａ＝\(\displaystyle \frac{1}{3}\)、Ｂ＝\(\displaystyle \frac{1}{4}\)
となります。
ＡＢ
\(\displaystyle \frac{1}{3}\)×３＝\(\displaystyle \frac{1}{4}\)×４＝①これは、「逆数をとる」ことで等式が成り立っているわけです。
「逆数」って知らないです。
逆数はね、分子と分母を逆に入れかえた数のことなんだ。
例えば、\(\displaystyle \frac{2}{3}\) の逆数は、\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
もちろん、
\(\displaystyle \frac{3}{2}\) の逆数は、\(\displaystyle \frac{2}{3}\) でもある。
また、
７の逆数は、７＝\(\displaystyle \frac{7}{1}\) の逆数で、\(\displaystyle \frac{1}{7}\)
どう？簡単でしょ。
はい、わかりました。
つまり、
Ａ：Ｂ＝\(\displaystyle \frac{1}{3}\)：\(\displaystyle \frac{1}{4}\) = \(\displaystyle \frac{4}{12}\)：\(\displaystyle \frac{3}{12}\) =4:3なるほど！さっきと同じ答えがでました。
- 互いに逆に入れかえる
- 逆数をかける
かけ算が等号で結ばれているときに、「逆」になるということは暗記しておきましょう。
- さらに研究
-
もっともっと深く理解しておこう。
「逆」を知らなかったとしても、ただ計算するだけでも答えは求まるんですよ。どういうことですか？
Ａ×３＝Ｂ×４ のＡを①でも②でも、なんでも好きな値においてみるわけだ。
例えば、Ａ＝①とすると、
①×３＝Ｂ×４より、B＝〇\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
A:B=1:\(\displaystyle \frac{3}{4}\)= 4:3
ほら、求まったでしょ。あ、本当だ。
等式の変形をすれば仕組みは明らかだよ。
Ａ×３＝Ｂ×４
という等式を変形する。両辺を \(\displaystyle \frac{1}{4}\) 倍すれば、
Ａ×３×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)＝Ｂ×４×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)
つまり、
Ａ×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)＝Ｂということだからね。
Ａをいくつにおこうが、ＢはＡの \(\displaystyle \frac{3}{4}\) 倍なのです。
比は具体値とは無関係で一定だからです。
なるほどー！等式の変形ってめちゃくちゃ大事ですね！
その通り！！！
- 例題１
- Aの \(\displaystyle \frac{2}{5}\) 倍とＢの \(\displaystyle \frac{3}{4}\) 倍が等しいとき、ＡとＢの比を求めなさい。
- 解説
-
さっきと同じですよね。
Ａ× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝Ｂ×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
ということです。
例題１のときと同様に２種類の逆が成立します。互いに逆に入れかえる解き方だと
\(\displaystyle \frac{3}{4}\)× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝\(\displaystyle \frac{2}{5}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
つまり、
Ａ：Ｂ＝\(\displaystyle \frac{3}{4}\)：\(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝15：８逆数をとる解き方だと
\(\displaystyle \frac{5}{2}\)× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝\(\displaystyle \frac{4}{3}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
つまり、
Ａ：Ｂ＝\(\displaystyle \frac{5}{2}\)：\(\displaystyle \frac{4}{3}\) ＝15：８正解！
もちろん逆を意識しないで、ただの計算問題としても処理できますね。
※連比であるともいえます。