【比】逆比・その1

Ａ×３＝Ｂ×４
ということですね。

そうだよ。これも等式だ。１つ前の単元で学習したやつだね。
問題文から等式がつくれるなんて成長しているね！

Ａ×３＝Ｂ×４が成り立つのは直感的に、Ａ＝④、Ｂ＝③のときとわかります。
　　　
Ａ　　　Ｂ
④×３＝③×４　　

逆にすればよいことがわかります。
九九もそうでした。「四三（シサン）12」と「三四（サンシ）12」です。
　　　　
答えは、Ａ：Ｂ＝４：３です。　　　

うん正解。簡単だったね。
この例題のように「２つのかけ算が等しい」ならば、
逆の数をかけている、ということはあたりまえの事実として暗記しておいてね。

で、さらに別の見方もしておくよ。

上の解き方は結果的に
Ａ　　　Ｂ
④×３＝③×４＝⑫　

となっていて、⑫でＡとＢが結ばれています。
そして、ＡとＢを結ぶ値はどんな数値でもいいわけです。

例えば、①にすると、
Ａ×３＝Ｂ×４＝①　

このとき、

Ａ＝\(\displaystyle \frac{1}{3}\)、Ｂ＝\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

となります。

Ａ　　　Ｂ
\(\displaystyle \frac{1}{3}\)×３＝\(\displaystyle \frac{1}{4}\)×４＝①

これは、「逆数をとる」ことで等式が成り立っているわけです。

「逆数」って知らないです。　　

逆数はね、分子と分母を逆に入れかえた数のことなんだ。

例えば、

\(\displaystyle \frac{2}{3}\) の逆数は、\(\displaystyle \frac{3}{2}\)

もちろん、

\(\displaystyle \frac{3}{2}\) の逆数は、\(\displaystyle \frac{2}{3}\) でもある。

また、

７の逆数は、７＝\(\displaystyle \frac{7}{1}\) の逆数で、\(\displaystyle \frac{1}{7}\)

どう？簡単でしょ。

はい、わかりました。

つまり、　
　　　
Ａ：Ｂ＝\(\displaystyle \frac{1}{3}\)：\(\displaystyle \frac{1}{4}\) = \(\displaystyle \frac{4}{12}\)：\(\displaystyle \frac{3}{12}\) =4:3

なるほど、さっきと同じ答えがでました。　　　

もっともっと深く理解しておこう。
「逆」を知らなかったとしても、ただ計算するだけでも答えは求まるんですよ。

？どういうことですか？

Ａ×３＝Ｂ×４　のＡを①でも②でも、なんでも好きな値においてみるわけだ。
例えば、Ａ＝①とすると、
①×３＝Ｂ×４

より、B＝〇\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

A:B=1:\(\displaystyle \frac{3}{4}\)= 4:3
ほら、求まったでしょ。

あ、本当だ。

等式の変形をすれば仕組みは明らかだよ。

Ａ×３＝Ｂ×４
という等式を変形する。

両辺を \(\displaystyle \frac{1}{4}\) 倍すれば、

Ａ×３×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)＝Ｂ×４×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

つまり、
Ａ×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)＝Ｂ

ということだからね。

Ａをいくつにおこうが、ＢはＡの \(\displaystyle \frac{3}{4}\) 倍なのです。

比は具体値とは無関係で一定だからです。

なるほどー！等式の変形ってめちゃくちゃ大事ですね！

その通り！！！

さっきと同じですよね。

Ａ× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝Ｂ×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

ということです。　
例題１のときと同様に２種類の逆が成立します。

互いに逆に入れかえる解き方だと

\(\displaystyle \frac{3}{4}\)× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝\(\displaystyle \frac{2}{5}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

つまり、
Ａ：Ｂ＝\(\displaystyle \frac{3}{4}\)：\(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝15：８

逆数をとる解き方だと

\(\displaystyle \frac{5}{2}\)× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) ＝\(\displaystyle \frac{4}{3}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

つまり、
Ａ：Ｂ＝\(\displaystyle \frac{5}{2}\)：\(\displaystyle \frac{4}{3}\) ＝15：８

正解！
もちろん逆を意識しないで、ただの計算問題としても処理できますね。
※連比であるともいえます。