いろいろなニュートン算

例題16
水そうに水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。ポンプAでくみだすと60分で空になり、ポンプBでくみだすと20分で空になります。また、ポンプAとBを同時に使ってくみだすと12分で空になります。
この水そうが空のとき、ポンプを使わないと何分で満水になりますか。
解説
吹き出し用まなぶくんイラスト

 
「はじめ」÷(A-じゃま)=60(分)
        
「はじめ」÷(B-じゃま)=20(分)
        
「はじめ」÷(A+B-じゃま)=12(分)

という3つの仕事算の式ですね。

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いつも通り、「はじめ」を計算しやすそうな数値でおいてしまおうか。

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60、20、12の最小公倍数の60にしてみます。

「はじめ」=60とすると、

60÷(A-じゃま)=60(分)
        
60÷(B-じゃま)=20(分)
        
60÷(A+B-じゃま)=12(分)

つまり、
(A-じゃま)=
(B-じゃま)=
(A+B-じゃま)=

   

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この3つの式で消去算をするんだ。

この消去算は、3つの式だけど簡単でしょ。

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(A-じゃま)=
(A+B-じゃま)=

この2つを見比べれば、
B=
がわかりますね。

そして、
(B-じゃま)=
だから、
じゃま=
(A-じゃま)=
だから、
A=

全部求まりました!

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はい。
あとは問題で聞かれていることを計算するだけですよ。

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空の状態から、水の流入だけで満水にするための時間を求めます。

水の流入とは「じゃま」のこと、1分にずつ。
満水は60なので、
60÷=60(分)

求まりました。60分です。

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正解です。

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ちなみにね、この問題は解き方2で解くとけっこう解きにくいです。

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ポンプAが1分でくみ出す量をA
ポンプBが1分でくみ出す量をB
1分の水の流入量を
としてみましょうか。

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では、そうします。

・Aで60分
「はじめ」+60=A×60

・Bで20分
「はじめ」+20=B×20

・AとBで12分
「はじめ」+12=(A+B)×12

3つの式ができました・・・

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はい、とても上手に式がつくれたね。

この3つの式で消去算をすれば、答えが求まります。

どう?できそうかな?

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どうかな・・・
3つの式の消去算はやったことあったかなあ。

あまり自信がないですけど・・・

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まあ、とにかく、消去算の計算技術さえ高ければ、上の解き方でこの問題は解決できるわけだね。
でもちょっと計算が苦しいかな。

解き方1の方が圧倒的に楽ですね。