ニュートン算・総量に着目する

例題12
ある牧場で、69頭の牛を放すと35週間で草を食べつくしてしまいますが、61頭の牛を放すと42週間で草を食べつくしてしまいます。草は毎日一定の割合ではえ、牛はどの牛も1日に同じ量の草を食べるものとします。

この牧場に、41頭の牛を放すと草が食べつくされるまで何週間かかりますか。

解説
吹き出し用カンガルー先生イラスト

解き方1でも解き方2でもかまいません。解いてみてください。

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はい。
えっと・・・これは・・・
解き方1で解いていた頃のニュートン算と同じ・・・?

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そうだよね。
何のひねりもない、普通のニュートン算です。

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はあ・・・

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ニュートン算の2つの解き方について、それぞれの良い点、悪い点をここでまとめておきましょう。

まず、「解き方2(仕事の総量着目)」でしか解けない問題があることを見てきました。
この点だけを見れば、「解き方1」なんかいらない、「解き方2」だけあれは十分である。
このように思ってしまいますよね。

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はい、解き方2でないと解けない問題を2問連続で見てきましたからね。

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そうだよね。
で、今回の例題です。

この例題は、
解き方2で解くと、「とても計算がめんどう」です。解けますが、めんどうです。
解き方1で解くと、「計算が簡単」です。

これが解き方1の良い点なのです。

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解き方1だと、計算が楽・・・

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どれくらい計算量に違いがあるか、これから2つの解き方で解いていくことにしましょう。

その前にもう1つ、解き方1の良い点です。
「解き方2」で解いていっても、最後の最後は「解き方1(の式)」で解いたほうが楽。

これは、以前、例題9で体験しましたね。

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最後は、解き方1の方が楽・・・例題9の最後の最後でしたね。

解き方2
「はじめの量24」+「✕?」=「12✕?」

解き方1
「はじめの量24」÷(12)=2.4(時間)

確かにそうでしたね。

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はい。

では、今回の例題を2つの解き方で解いていきましょう。
まずは、解き方1で解きましょう。
解き方1で解けそうなときは、解き方1がオススメです。
計算が楽ですからね。

解き方1・単位時間に着目する

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牛1頭が1週間で食べる草の量をとします。
この牧場に1週間で生える草の量を①とします。

「はじめの量」÷(69−じゃま)=35(週間)
「はじめの量」÷(61−じゃま)=42(週間)

「はじめの量」=◯210とすると、
69−じゃま=⑥
61−じゃま=⑤

2つの式の差をとって、
=①
これと
69−じゃま=⑥
より、
69−じゃま=48
より、
じゃま=21
また、
はじめの量◯210=1680
これですべてわかったので、最後の仕事算で終わりですね。

牛41頭を放すと

1680÷(4121)=84

求まりました。
84週間です。

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はい、正解です。

解き方1だと楽に解けたでしょ。
解き方2の計算は結構面倒ですよ。
やってみてください。

解き方2・総量に着目する

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解き方2ですね。

「はじめにある仕事量」+「追加された仕事量」=「仕事をした総量」

で式を作ります。

牛1頭が1週間で食べる草の量をとします。
この牧場に1週間で生えるる草の量を①とします。

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牛69頭が35週間食べる草の量は、69✕35=2415

つまり、
「はじめの量」+㉟=2415

牛61頭が42週間食べる草の量は、61✕42=2562

つまり、
「はじめの量」+㊷=2562

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もうすでに計算が面倒でしょ。
あとは、この2つの式で消去算をすればいい。

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「はじめの量」+㉟=2415
「はじめの量」+㊷=2562

下の式から上の式を引けば、「はじめの量」が消えて、

⑦=147
これはもちろん7で割って、
①=21

これを使って、〇だけの式、あるいは□だけの式にします。

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①=21

「はじめの量」+㉟=2415
を□だけの式にすると、

「はじめの量」+7352415
つまり、
「はじめの量」は、1680だ。

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はい、上手に解けています。

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牛41頭を放すならば・・・

1週間ではえる草の量①は、、
①=21なので、

「はじめの量1680」÷(4121)=84(週間)

求まりました。84週間です。
解き方1と同じ答えにたどりつきました。

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はい、上手にできましたね。

解き方1の方が、圧倒的に計算が楽だったでしょ。
解き方2だけしかできないよりも解き方1ができたほうが有利です。

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なるほど・・・
解き方1の良い点、悪い点、
解き方2の良い点、悪い点、
があるんですね。

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うん、まとめますね。

解き方1の良い点
計算が楽。解き方2で解いたあと、結局は最後の最後に用いることが多い。

解き方1の悪い点、
解けない問題がある。

解き方2の良い点
解けない問題がない。あらゆる問題に対応できる

解き方2の悪い点、
計算が面倒になることがある。

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どちらの解き方も身につけておいた方が良いですね。