例題8
下の図は、1辺の長さが12cmの立方体です。点P、Q、Rは辺の真ん中の点です。この立方体を3点P、Q、Rを通る平面で切断します。その切断面を作図しなさい。また、切断面の図形の名前を答えなさい。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3001

解説
吹き出し用まなぶくんイラスト

「立体の切断面の切り口の作図」ルール
1.同じ平面上の点は結ぶ。
2.平行な面には、平行な線を引く

まずはルール1ですね。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3002
吹き出し用まなぶくんイラスト

ルール1だけで解決しなかったので、ルール2を用います。

2.平行な面には、平行な線を引く

あれ?どこにも引けないぞ・・・
あれ?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい。

とてもよくできていますよ。

今まで教えた立体切断のルールをよく学習してきてくれましたね。

で、いよいよ立体切断のルール3を教えるときがきたのです。

この問題は、ルール1と2だけでは解決できません!

吹き出し用まなぶくんイラスト

え!?

ルール3?

まだ他に教えてもらっていないルールがあったんですね!!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そうなんです。

ルール3です。
そして、これが最後のルールです。
もうこれ以上ありません。

ルール3、延長を考える。

です。

吹き出し用まなぶくんイラスト

延長を考える・・・
なんのことだか・・・さっぱりわかりません!!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい。
とにかくはじめは見ていてください。

はじめに与えられていた立方体の左に、もう1つ同じ大きさの立方体があるとします。
PRを切ったナイフは、もう1つの立方体にも同じような切り口をつけますね。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3005
吹き出し用カンガルー先生イラスト

次に、前の面に注目します。
SとQは同じ面上の点です。

ルール1により結びます。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3006
吹き出し用カンガルー先生イラスト

ここから先は、ルール1、2だけで解決できます。
もちろんルール3を使っても良いのですが。

吹き出し用まなぶくんイラスト

ルール2ですね。

上下の面に着目します。

2.平行な面には、平行な線を引く

下図のように底面に青い線が引けますね。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3007
吹き出し用まなぶくんイラスト

さらに、ルール2ですね。

前後の面でも、左右の面でも良いですね。

2.平行な面には、平行な線を引く

前後の面に着目すれば、緑の線が引けますね。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3008
吹き出し用まなぶくんイラスト

最後、ルール1。

1.同じ平面上の点は結ぶ。

右の面に、ピンクの線が引けますね。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3009
吹き出し用カンガルー先生イラスト

左の立方体は、本来はないものですからね。
右の立方体のみに着目します。

切断面は、正六角形です。

6つの点が、すべて立方体の辺の真ん中の点になっています。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3010
吹き出し用まなぶくんイラスト

なんだか延長って難しいですね・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はじめはそう思うよね。
でも、とにかく練習あるのみです。

すぐに、簡単だなって思うはずです。
立体切断ってワンパターンなんですよ。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

さて、延長を下方向や奥の方にもするとどうなるのかを見ておきましょう。

とても大事な図ですからね。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3011
吹き出し用まなぶくんイラスト

あ!正三角形の切断面の一部分なんだ。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そうだね。

そして、逆向きに延長すると下図になります。

延長するのは「面」だけで十分ですよ。
必ずしも、立方体を付け加えなくても良いのです。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3012
吹き出し用カンガルー先生イラスト

この図からは、大きな三角すいと、小さな三角すい3つが見えて欲しい。

切断はね、延長すると、必ず大三角すいと、小三角すいの組み合わせになるんだ。
大三角すいと、中三角すいと、小三角すいになることもあるし、4つの異なる大きさの三角すいの組になることもある。
これは体積の計算につながっていきます。

中学受験算数カンガープリント 立体切断3013

その9を学ぶ

その7に戻る