345-8

灘中学で出題された問題です。

ABの真ん中の点をEとします。
下図のピンク色の直角三角形は特別なものです。
３辺の比が、７：２４：２５です。
角度からわかります。
青三角の角２つ分の外角だからです。

３：４：５の三角形の内角２つ分に注目するんでしたね。

よって、AEの長さは、AFの長さの \(\displaystyle \frac{24}{25}\) 倍なので、

５× \(\displaystyle \frac{24}{25}\) ＝ \(\displaystyle \frac{24}{5}\)

ABはAEの２倍なので、
\(\displaystyle \frac{24}{5}\) ×２＝ \(\displaystyle \frac{48}{5}\)＝9.6

求まりました。
ABの長さは9.6cmです。

上の事実を暗記していない場合は、３：４：５の直角三角形を組み合わせたり、切ったりして解くことになります。
例えば、下図の直角三角形AEGは、３辺の比が３：４：５の直角三角形です。

AEの長さは、AGの長さの \(\displaystyle \frac{3}{5}\) 倍なので、

８× \(\displaystyle \frac{3}{5}\) ＝ \(\displaystyle \frac{24}{5}\)

\(\displaystyle \frac{24}{5}\) cmです。

このように解いている過程で、７：24：25に気づくこともあるでしょう。

続いてCDの長さです。

下図のピンク色の直角三角形CHIは、３辺の比が、７：２４：２５です。
角度からわかります。

赤丸２つ分の角があるからですね。

CH=8cｍなので、
HI=８× \(\displaystyle \frac{7}{25}\) ＝ \(\displaystyle \frac{56}{25}\)

\(\displaystyle \frac{56}{25}\) cmです。

より、IJ＝４－ \(\displaystyle \frac{56}{25}\) = \(\displaystyle \frac{44}{25}\)

CDはIJの２倍なので、

\(\displaystyle \frac{44}{25}\) ×２＝ \(\displaystyle \frac{88}{25}\) ＝3.52

求まりました。

この問題を、７：２４：２５の直角三角形の知識なしで解くのはかなり困難です。
様々な補助線を引いて、活路を見出すしかありません。

一例を示しておきます。

三角形FABと三角形FLMは相似で、相似比は、FA：FL＝５：３なので、

LMはABの長さの\(\displaystyle \frac{3}{5}\)倍です。

ABは（１）より9.6ｃｍなので、

LMは、9.6×\(\displaystyle \frac{3}{5}\)＝5.76cm

また、CDの長さとHKの長さの平均がLMの長さになるので、
CDの長さが求まります。

（CD＋８）×\(\displaystyle \frac{1}{2}\)＝5.76

逆算して、CD＝3.52

これで求まりました。