3:4:5の直角三角形
7:24:25の直角三角形
例題1
下図のように長方形ABCDを対角線ACを折り目としておりました。
このとき、DEの長さを求めなさい。
解説
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折り返しの問題では、折り返す前と後で、同じものに着目する。
これが重要な解法知識です。
同じ長さや、同じ角度に着目するのです。
今回は、角度です。
角度から、直角三角形の相似がわかります。
![中学受験算数カンガープリント 直角三角形3:4:5 7:24:25 012](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2019/06/345tri012.jpg)
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赤丸の角の大きさが等しいため、直角三角形ABCと直角三角形AFEは相似です。
どちらも、辺の長さの比が3:4:5の直角三角形です。
さらに、直角三角形AFEと直角三角形CFEは合同なので、EC=EA=25cm
より、DE=32-25=7(cm)
これが求める答えです。
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なるほどー
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ここからが本題になります!
この図形から学習したいことがあります。
ここで注目したいのは、直角三角形AEDです。
直角三角形AEDの辺の長さの比は7:24:25になることがわかりました。
![中学受験算数カンガープリント 直角三角形3:4:5 7:24:25 013](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2019/06/345tri013.jpg)
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たしかに。
7cm,24cm,25cmですもんね。
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このように直角三角形の3つの辺の比が、すべてが整数になることはめずらしいことです。
「3:4:5」だけでなく、この「7:24:25」も特別な三角形として暗記しておくと良いでしょう。
このように、3:4:5の直角三角形の問題に7:24:25の直角三角形はよく顔を出します。
覚えておいて損はありません。
どのような所に7:24:25の直角三角形が現れるか。
代表例は、上の例題でもでてきた配置です。
![中学受験算数カンガープリント 直角三角形3:4:5 7:24:25 077](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2019/06/345tri77.jpg)
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三角形ABC
三角形EBD
三角形EAD
がすべて「3:4:5」です。
そして、三角形AECが「7:24:25」
3:4:5の直角三角形の直角でない内角を上図のように、赤丸と青三角とします。
小さい方が赤丸で、大きい方が青三角です。
上図のように、赤丸2つ分の角は、7:24:25の直角三角形の1つの内角となります。
その角は、青三角2つ分の外角でもあります。
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3:4:5の直角三角形の内角で、同じもの2つ分の角の大きさがあれば、7:24:25の直角三角形はあるということですね。
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はい。そういうことです。
練習
下図において、2つの直角三角形は、いずれも3:4:5の直角三角形とします。
7:24:25の直角三角形がどこにあるか。見つけなさい。
解説
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例えば、下図のピンク色の直角三角形が7:24:25です。
![中学受験算数カンガープリント 直角三角形3:4:5 7:24:25 074](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2019/06/345tri74.jpg)
![中学受験算数カンガープリント 直角三角形3:4:5 7:24:25 075](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2019/06/345tri75.jpg)
![中学受験算数カンガープリント 直角三角形3:4:5 7:24:25 076](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2019/06/345tri76.jpg)
![吹き出し用カンガルー先生イラスト](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2018/04/balloon1_img.png)
もちろん、対称な位置にも同様にあります。