３：４：５の直角三角形
7：24：25の直角三角形
例題１
下図のように長方形ABCDを対角線ACを折り目としておりました。
このとき、DEの長さを求めなさい。
解説
折り返しの問題では、折り返す前と後で、同じものに着目する。
これが重要な解法知識です。
同じ長さや、同じ角度に着目するのです。
今回は、角度です。
角度から、直角三角形の相似がわかります。
赤丸の角の大きさが等しいため、直角三角形ABCと直角三角形AFEは相似です。
どちらも、辺の長さの比が３：４：５の直角三角形です。
さらに、直角三角形AFEと直角三角形CFEは合同なので、EC＝EA＝25ｃｍ
より、DE＝32－25＝７（cm）
これが求める答えです。
なるほどー
ここからが本題になります！
この図形から学習したいことがあります。
ここで注目したいのは、直角三角形AEDです。
直角三角形AEDの辺の長さの比は７：24：25になることがわかりました。
たしかに。
７cm,24cm,25cmですもんね。
このように直角三角形の３つの辺の比が、すべてが整数になることはめずらしいことです。
「３：４：５」だけでなく、この「７：24：25」も特別な三角形として暗記しておくと良いでしょう。
このように、３：４：５の直角三角形の問題に７：24：25の直角三角形はよく顔を出します。
覚えておいて損はありません。
どのような所に７：24：25の直角三角形が現れるか。
代表例は、上の例題でもでてきた配置です。
三角形ABC
三角形EBD
三角形EAD
がすべて「３：４：５」です。
そして、三角形AECが「７：24：25」
３：４：５の直角三角形の直角でない内角を上図のように、赤丸と青三角とします。
小さい方が赤丸で、大きい方が青三角です。
上図のように、赤丸２つ分の角は、７：24：25の直角三角形の１つの内角となります。
その角は、青三角２つ分の外角でもあります。
３：４：５の直角三角形の内角で、同じもの２つ分の角の大きさがあれば、７：24：25の直角三角形はあるということですね。
はい。そういうことです。
練習
下図において、２つの直角三角形は、いずれも３：４：５の直角三角形とします。
７：24：25の直角三角形がどこにあるか。見つけなさい。
解説
例えば、下図のピンク色の直角三角形が７：24：25です。
もちろん、対称な位置にも同様にあります。