３：４：５の直角三角形
１：２と１：３の直角三角形
例題１
下図のように、横の長さが45cmの長方形を、DがBC上のEの位置にくるように折り返すとき、折れ線はAFとなります。このとき、BEの長さを求めなさい。
解説
「直角をはさむ辺の比が１：３の直角三角形」が２つあります。
３：４：５の直角三角形があるのは間違いないですね。
この知識があれば、直角三角形ABEや直角三角形ECFが３：４：５の直角三角形であることがわかります。
直角三角形ABEはAEが45cmです。
ADが折り返した移動先ですからね。
あとは辺の比が３：４：５なので、
AB＝27cm
BE＝36cm
ここまでくれば、ECやCFは引き算で求まります。
DFが折り返した移動先がEFですね。
DF＝EF＝15
直角三角形ECFも「３：４：５の直角三角形」になり、見事にぴったりです。
矛盾がありません。
これでうまくいっていることがわかります。
BEは36ｃｍです。
別解
では、知識なしの正攻法でも解いておきましょう。
折り返しなので、
AEが45cm
EFが15cm
角AEFが90度がわかります。
また、角AEFが90度から、直角三角形ABEと直角三角形ECFが相似です。
角度から相似がわかります。
直角三角形の相似の有名な形ですよね。
丸と三角の角の和が90度ですね。
直角三角形ABEと直角三角形ECFの相似比は、45:15＝３：１です。
つまり、下図のように長さの比が入ります。
あとは消去算をすれば求まります。
DFとFCの和がABと等しいので、
15+１＝③
BEとECの和がADと等しいので、
3＋①＝45
この2つの式で消去算をすると、
①＝９
１＝12
と求まります。
よって、BE＝３＝36
求まりました。