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これは、渋谷教育学園幕張中学で出題された問題です。

直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形がありますね。

はい、こんなときには、
３：４：５の直角三角形がかくれているかも、という目で問題を見てみます！

三角形EABが３：４：５の直角三角形に見えますね・・・

そうですね。
直角三角形EABは３：４：５の直角三角形に見えますね。

ところで、直角三角形EABの内角に、●が２つ分の角がありますね。

このことから、
直角三角形EABは「３：４：５の直角三角形である」と断定できます。
予想ではなくて、はっきりと確定できます。
下図の知識があれば。

内接円のときに出てきた図ですね。

はい、そうです。

直角三角形EABが３：４：５の直角三角形であると分かれば・・・・
続きを解いてみてください。

AB＝２ｃｍだから、

EBの長さは、２×\(\displaystyle \frac{4}{3}\)＝\(\displaystyle \frac{8}{3}\)

BC=１ｃｍなので、
EC＝\(\displaystyle \frac{8}{3}\)－１＝\(\displaystyle \frac{5}{3}\)cm
先に（２）が求まりましたね。

はい、正解です。

あとは（１）三角形ACDの面積ですね・・・
えっと・・・
あれ、すぐにはわからないです。

そうですね。

この後は、補助線を引かないと解けませんからね。
例えば、DからECに垂線を引いて解くことができます。
あるいは、CからEAに垂線を引いて解くことができます。
どちらの補助線でも「３：４：５の直角三角形」と「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」がつくれるので、組み合わせて解くことができます。

これらの補助線を引く解法は、知識を使わない正攻法の解法と同一なので、下で見ていくことにしましょう。

さて、「３：４：５の直角三角形」の知識をまったくなしで解くならばどうなるか。
順に説明してきます。

まず、CからEAに垂線CFを引きます。

直角三角形DACを相似な三角形に割る有名な図形配置です。

直角三角形CAFも直角三角形DCFも「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」です。

また、三角形CAFと三角形CABは合同です。
CAで三角形CABを折り返したようなものです。

三角形ACDの面積は、

2.5×１×\(\displaystyle \frac{1}{2}\)＝\(\displaystyle \frac{5}{4}\) \(cm^2\)

これで（１）が求まりました。

次に、DからEBに垂線DGを引きます。
直角三角形DCFと直角三角形DCGが合同なので、
DG＝0.5、CG＝１
となります。

ここで、直角三角形EDGと直角三角形EABは相似です。
いわゆるピラミッド型相似ですね。
相似比は、DG：AB＝0.5：２＝１：４

よって、EG：EB＝１：４
EG＝①とすれば、
GB＝④－①＝③

GBより、
③＝２だから、

EG＝①＝\(\displaystyle \frac{2}{3}\)

より、CE＝\(\displaystyle \frac{2}{3}\)＋１＝\(\displaystyle \frac{5}{3}\)

これで（２）も求まりました！