３：４：５の直角三角形
１：２と１：３の直角三角形
例題１
ABとACの長さが20ｃｍで等しい二等辺三角形ABCがあります。
DはBCのまん中の点で、ADとBCの長さが等しいです。
また、ABとCEは垂直であり、EFとACも垂直です。
次の問いに答えなさい。
（１）EG：GCを求めなさい。
（２）EFは何ｃｍですか。
解説
ADとBCの長さが等しいので、
三角形ABDや三角形ACDが、直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形です。
そして、角度から三角形ABDと三角形CBEが相似とわかります。
三角形CBEも「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」ということです。
さて、「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」があるので、「３：４：５の直角三角形」が隠れている可能性があります。
絶対にそうなっているとは断定はできませんが、その可能性はあります。
この知識をもとに、「３：４：５の直角三角形」探しをしてみましょう。
三角形AEFとか、三角形ECFとか、３：４：５の直角三角形のように見えますね。
もしこの２つが３：４：５の直角三角形なら、三角形ACEだって３：４：５の直角三角形になるな。
もしこれらの三角形が「３：４：５の直角三角形」ならば・・・
長さを入れてみてください。
三角形ACEのAC＝20なので、
EA＝12
CE＝16
三角形AEFに着目すれば、EF＝9.6
どうですか？
矛盾がないと言えますか？
えっと・・・
矛盾は今のところ見つからないですけど・・・
本当にうまくいっているのかどうかは確信が持てません。
三角形CBEに着目してみましょう。
EBが８でECが16なので、
三角形CBEが「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」になっています。
カンペキですね。うまくいっていますよ！
（２）のEFの長さが求まりましたね。
9.6ｃｍですね。
はい、その通りです。
では（１）EG：GCを求めましょう。
続きはとても簡単だからやってみてね。
三角形AEGも直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形だから、
EG＝６つまり、GC＝16－６＝10
よって、EG：GC＝６：10＝３：５です。
はい、とてもあっさりと解けました。
正解ですよ。
（１）EF＝9.6ｃｍ
（２）EG：GC＝３：５
でした。
別解
もし、「３：４：５の直角三角形があるはず！」という知識なしで正攻法で解くとどうなるか。
けっこう難しいです。
これを見ていきましょう。
まず、「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」を使うことは同様です。
EからBCに垂線をひきます。相似な直角三角形の分割として有名な図形ですね。
下図のようになります。
DはBCのまん中の点です。
ここで連比です。
あらためて、BC＝⑩として書き直すと下図になります。
EG：GCは、三角形CGDと三角形CEHのピラミッド型相似で、３：５と求まります。
なるほど！
では続きです。
EG＝３
GC＝５
とします。
三角形AEGが、直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形なので、
AE＝GC×２＝６
三角形CBEが、直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形なので、
BE＝CE÷２＝４
三角形ABCは二等辺三角形なので、
AB＝AC＝10
下図のようになります。
三角形AECが３：４：５の直角三角形であることが導かれました！
EFの長さは相似から求めてもよし、
面積から求めてもよし。
EF＝9.6ｃｍです。
なるほど！
うまく解けるものですね。
でも・・・裏ワザで解くのが楽ですね、えへへ。
参考図
ちなみに、三角形ABCと三角形CBEと三角形ACEの関係は、下図のようになっています。
