345-2

直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形です。
このようなとき、３：４：５の直角三角形が隠れている可能性が大なのです。
これが知識です。
絶対に隠れている、とは言い切れませんが、可能性はあります。

で・・・どうすればいいの？

つまり、きちんと論理的に問題を解かなくても、答えが求まる可能性があるということです。

正攻法で解ける力をつけておくことが大事なのはもちろんですが、あっさり解ける問題を前に、わざわざ遠回りをする必要もない・・・
入試対策に限っての話ですけどね。

では見ていきましょう。

三角形EBCが、３：４：５の直角三角形のように見えませんか？
本当にそうなのか、まだわかりませんが、
もしそれが成りたつならば・・・EBとCEの長さを求めます。

BC＝12なので、
EB＝15
CE＝９
です。
三角形EBCが、３：４：５の直角三角形なのかどうかはまだわかりませんが、
EB＝15、CE＝９だとすれば・・・仮定の話を進めていきます。

折り返しなので、BEとAEは等しいので、AE＝15。

AE＋EC＝15+9=24
ACの長さは24なので、矛盾がありません。
つまり、三角形EBCが、３：４：５の直角三角形であるという予想は的中したわけです。

AE：EC＝15：９＝5:3
求まりました。
あっさり解けてしまいましたね。

え？
もう解けちゃったの？
なんだかスゴイ技ですね。

注意して欲しいことは、
どんなときにも使える技ではないということです。

自分勝手に、３：４：５の直角三角形であると決めつけて解いて、大間違いってことにならないようにしてください。

もし３：４：５の直角三角形ならば、と解いていくときは、それによって矛盾が起きないかどうか、慎重に調べつくさないといけません。

どんなときにでも使える技ではない・・・
つまり、使えるときを見きわめるのですね。

はい。
３：４：５の直角三角形がかくれていると予想すべきときは、
「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」があるとき。
「直角をはさむ辺の比が１：３の直角三角形」があるとき。
これを覚えておいてください！

正攻法で解くならば以下のようになります。
スタート地点は、三角形AEDと三角形ABCが相似であると認識することです。
どちらも、「直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形」ですね。

で、次がちょっとハードル高いですね。
DからACに向かって垂線を引きます。
直角三角形の相似として有名な図形の分割ですから、無理というほどではないですが。

三角形ADFも三角形DEFも、直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形ですね。

その通りです。
直角をはさむ辺の比が１：２の直角三角形がたくさんあります。
相似ですね。

DはABの真ん中の点なので、
三角形ADFと三角形ABCは相似比が１：２
つまり、DF＝６、AF=１２です。
また、FEはDFの長さの半分なので、
FE＝３

下図のようになります。

これで解決です！
AE＝15と求まりました。

AE：EC＝15：９＝５：３

なるほどー。
この解き方だと、３：４：５の直角三角形はまったく使ってないわけですね。

1:3でも、同じように３４５がでてきます。