水そう

おもりを重ねて入れる

例題1

下図のような直方体の容器に、水が10cmの深さまで入っています。この中に、図のような直方体の重りを図の向きのまま、1個ずつ重ねて沈めていきます。

(1)重りを1個沈めたときの水の深さは何cmになりますか。
(2)重りを2個重ねて沈めたときの水の深さは何cmになりますか。
(3)重りを6個重ねて沈めたときの水の深さは何cmになりますか。

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0210

解説

(1)1個

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0212
吹き出し用まなぶくんイラスト

おもりの体積と、上がった水の体積が等しい。
高くなった水位を□cmとすると、

10×5×2=20×20×□
左右を100で割ると、
1=4×□

つまり、□=\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4}\)cm 水位が上がったのだから、10+\(\displaystyle \frac{1}{4}\)=10\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

求まりました、10.25cmです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、正解です。
もちろん分数で答えてもOKです。

(2)2個

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0211
吹き出し用まなぶくんイラスト

おもり1つで水位が0.25cmアップしました。
おもり2つなら、0.25×2=0.5cmアップしますね。

10+0.5=10.5

水位は、10.5cmです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、正解です。

(3)6個

吹き出し用まなぶくんイラスト

おもり1つで、水位が0.25cmアップしました。
おもり6つなら、0.25×6=1.5
1.5cmアップする。

つまり、10+1.=11.5cm

こんな簡単でいいのかな・・・
何かひっかけがある?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

ひっかけるつもりなんてないのだけどね。
11.5cmでは間違いです。
正しい答えを求めましょう。

吹き出し用まなぶくんイラスト

えっと。何が間違いなんだろうか・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

ちゃんと図をかかないからですよ。
6個のときの図は?

吹き出し用まなぶくんイラスト

下図のようになります。

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0214
吹き出し用カンガルー先生イラスト

本当にそうなるのかな?
他の可能性もあるはずだよ。

吹き出し用まなぶくんイラスト

え?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

だって、おもりが全部沈む保証はないよね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

あ・・・え?
あ、そうか。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

おもりが全部沈むならば、1.5cmアップで正解です。

図には情報をちゃんといれないといけない。
おもり6個の高さは、2×6=12cm

おかしいじゃないですか!

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0216
吹き出し用まなぶくんイラスト

確かに・・・
水位とおもりの高さがおかしいです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

これはね、おもりは全部しずまないということなんだよ。

つまり下図のようになるんだ。

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0217-2
吹き出し用まなぶくんイラスト

水ははじめ
20×20×10=4000 \(cm^3\)

おもりを入れたあとの水の底面積は、400-5×10=350 \(cm^2\)

つまり、
4000=350×?

左右を50で割って、
80=7×?

つまり、?=\(\displaystyle \frac{80}{7}\)=11\(\displaystyle \frac{3}{7}\)

求まりました。水位は、11\(\displaystyle \frac{3}{7}\) cmです。

中学受験算数カンガープリント 水そうと水位0218-2
吹き出し用まなぶくんイラスト

水位とおもりの高さが、うまくいってます。これは自信があります!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、正解です。

このように、おもりが全部しずむのか、しずまないのか。
この点にも注意しないといけない問題があるのです。

覚えておきましょうね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

おもりが全部しずむのか、しずまないのか。
見分け方はあるんですか?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

それはね、計算してみないとわからないんだ。
つまり、
「全部沈むならば」という仮定で水位を求めて、矛盾が起きるかどうかを判定します。
矛盾がないならば、その値が正しい水位です。
矛盾があれば、全部沈まないのが正しいので、計算をやり直します。

矛盾がないとは、
求めた水位が、おもりの高さより高いときです。
全部沈むという仮定と一致しているということです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

あるいは、
「全部沈まないならば」という仮定で水位を求めます。

矛盾がないならば、その値が正しい水位です。
矛盾があれば、全部沈むのが正しいので、計算をやり直します。

矛盾がないとは、
求めた水位が、おもりの高さより低いときです。
全部沈まないという仮定と一致しているということです。