ニュートン算・総量に着目する
- 例題９
- ポンプで満水の井戸水をすべてくみ出すのにポンプ５台だと８時間、ポンプ８台だと４時間かかります。ポンプ12台では何時間何分かかりますか。ただし、常に一定量の水がわき出ているものとします。
- 解説
-
ニュートン算は得意になってきたかな？
はい、いつもワンパターンで解けますからね。そうだね。ワンパターンで解いてきたよね。
（はじめの仕事量）÷（１時間の仕事量－１時間のじゃま）＝（時間）
という式を２本かいて、比で解くやり方を見てきたね。もちろん、「１時間の仕事量」ではなくて、
「１分の仕事量」だったり「１日の仕事量」だったりする。
これらをまとめて、「単位時間あたりの仕事量」と言います。今までの解き方は、
「単位時間あたりの仕事量」に着目する解き方です。
はい、ワンパターンでした。この解き方とは別の解き方もあるんだ。
ここからは、それについて教えることにします。
他の解き方ですか・・・そうなんです。
もう１つの解き方は、「仕事をした総量」に着目する解き方なんだ。ニュートン算では、「はじめにある仕事量」に加えて、
時間とともにどんどん仕事が増えていくよね。水が入ってくる、人が並んでくる、草が生えてくる、などです。
これら「追加された仕事量」を「はじめにある仕事量」と合計して、「全部でどれだけの仕事をしたのか＝仕事をした総量」に着目する解き方なんだ。
へえ・・・
「はじめにある仕事量」＋「追加された仕事量」＝「仕事をした総量」
なるほど・・・とにかく具体例を見た方がはやいね。
さっそく例題でこの新しい解き方、「仕事をした総量に着目」を見ていくことにしよう。では、問題を解いていきましょう。
・ポンプ５台だと８時間ですべてくみ出す。
・ポンプ８台だと４時間ですべてくみ出す。これらを整理していきます。
１時間で追加される仕事量（わき出ている水）を①
ポンプ１台が１時間でする仕事を１とおきましょうか。
・ポンプ５台だと８時間ですべてくみ出す。
「はじめの量」＋「８時間でわき出した量」＝「５台８時間のくみだし」１時間のわき出し量が①だから、「８時間でわき出した量」は⑧ですね。
ポンプ５台が８時間でくみ出した量は、５✕８＝40つまり、
「はじめの量」＋⑧＝40
という式になります。OKです。
次に２つめの条件だ。
・ポンプ８台だと４時間ですべてくみ出す。
１時間のわき出し量が①だから、「４時間でわき出した量」は④です。
ポンプ８台で４時間でくみ出した量は、８✕４＝32つまり、
「はじめの量」＋④＝32
はい、うまくできてます！
あとは、この２つの式で消去算をすればいい。
「はじめの量」＋⑧＝40
「はじめの量」＋④＝32上の式から下の式を引けば、「はじめの量」が消えて、
④＝８
これはもちろん４で割って、
①＝２これを使えば、〇だけの式、あるいは□だけの式にすることができますね！
どちらでもいい。１つの記号にそろえましょう。
①＝２で「はじめの量」＋⑧＝40
を□だけの式にすると、「はじめの量」＋16＝40
つまり、
「はじめの量」は、24であることがわかりました！
はい、上手に解けていますよ。
続きはどうかな？
ポンプ12台で仕事をするならば・・・「はじめの量24」＋「？時間の追加（わき出し）」＝「ポンプ12台が？時間でくみ出した量」
ポンプ１台が１時間でする仕事量は１
１時間のわき出し量は、①＝２
なので、「はじめの量24」＋「２✕？」＝「12✕？」
?はえっと・・・
学くんの解き方でOKなんだけども、最後は普通に仕事算の式で解いた方が楽だよ。
「単位時間あたり」の解き方ね。
え？
途中で解き方変えるんですか？
今日はいつもと違う解き方するって・・・ブツブツ
１時間のわきだし量は、
①＝２だから、ポンプ12台で仕事をすると、
「はじめの量24」÷（12−２）＝2.4（時間）2.4時間は、２時間24分
求まりました！答えは、２時間24分です。
確かにこっちのほうが楽ですね。はい、正解です。
最後は楽な方（単位時間）で解きましょう。
さて、「仕事の総量」に着目する解き方を見てきました。
しかし、この問題は今まで通りの解き方（単位時間）でも解けます。１時間あたりにどれだけ仕事が減っていくかの解き方です。
「はじめの量」÷（5－じゃま）＝８時間
「はじめの量」÷（8－じゃま）＝４時間
という２つの仕事算の式をかいて、式処理をしていく解き方ですね。
はい、わかります。
そっちの解き方は大得意ですから。今までの解き方を、解き方１（単位時間）
今回の解き方を、解き方２（総量）
と呼ぶことにします。解き方１（単位時間）は、仕事がじゃまをされて、なかなか減らないという視点。
解き方２（総量）は、はじめにある仕事量にさらに仕事が追加されたという視点。
注目している点が違うんだ。
解き方１でも解き方２でも解けるなら、解き方１だけじゃダメですか？
今までずっと解き方１で解いてきたからなあ。
それに、今回も最後は解き方１でしたよ。
「はじめの量24」÷（12−２）＝2.4（時間）
のところは解き方１でした。よほど算数が不得意でない限り、どちらの解き方もできた方がいいよ。
解き方２でないと解けないという問題があるからなんだよ。
そういう問題を次から紹介していくよ。保護者さまへ
解き方１での式を展開して変形すれば、解き方２の式になります。
つまり、数学の目で見れば、どちらも同一の解き方になります。しかし、立式するさいの頭の使い方が異なるため、子どもの目からみればまったく別の解き方です。