規則性
等差数列
例題1
2,5,8,11、14、17・・・
この等差数列に出てくる数はすべて、アで割るとイ余る数です。
アとイにあてはまる整数を求めなさい。
解説
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えっと・・・
何だこの問題・・・
わからないな・・・
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差はいくつの等差数列なのかというと・・・?
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3ですね。
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つまり、この数列に出てくる数は、
2
2+3
2+3+3
2+3+3+3
2+3+3+3+3
と続いていくから・・・
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あ、なるほど。
3で割ると2余る数ですね。
ア=3、イ=2です。
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はい、正解です。
そういうことです。
そして、「3で割ると2余る数」とは言いかえると
「3の倍数+2」と言うことです。
さらに言いかえるならば、
「3×整数+2」
このように等差数列とは、「アで割るとイ余る数」の集まりなのです。
このような理解も必ずしておいてください。
整数のNで割った余りによる分類
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ここで、整数を下の表のように3段に並べます。
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3本の等差数列ができました。
上から順に、
「3で割ると1余る数」の列
「3で割ると2余る数」の列
「3で割ると割り切れる数(あまり0)」の列
となります。
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この表を使って、等差数列を簡単に処理することができます。
例えば次の例題です。
例題1
2,5,8,11、14、17・・・
この数列の50番目の数を求めなさい。
解説
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もちろん、表を使うまでもなく3秒で答えが出せますね。
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2+3×49=149
答えは149です。
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正解です。
別解は、「3の倍数の列」を使います。
50番目の3の倍数は、
50×3=150
と極めて簡単に求まります。
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求める値は「3×?+2」の数列の50番目なので、149です。
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なるほど。
「植木算」の要素がなくなりましたね。
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そうなんです。
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さて、同じように整数を2で割ったときのあまりによる分類は下図のようになります。
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これには、「奇数」と「偶数」という名前がつけられています。
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同様に、整数を4で割ったときのあまりによる分類は下図です。
![吹き出し用カンガルー先生イラスト](https://jukensansuu.net/wp-content/uploads/2018/04/balloon1_img.png)
以下、同じように、5で割ったとき、6で割ったとき・・・と無数の分類が可能です。
このような数表がそのまま出題されることも非常に多いので、頭に入れておきましょう。