食塩水の総量に着目する

食塩水のおける定番問題「同時に等量交換をして、等しい濃さになる」問題を取り上げます。この問題の最大のポイントは、食塩水を全部まぜたときの総量に着目するということを確認し、その派生問題をまとめて学習していきます。

同時ではない交換

例題1

容器Aには3%の食塩水が200g、容器Bには15%の食塩水が400g入っています。
まずAからBへ□gの食塩水を移しよくかき混ぜました。その後BからAへ□gの食塩水を移しよくかき混ぜましたところ、Aの濃さは7%になりました。
□に入る値を求めなさい。2つの□には同じ値が入ります。
また、Bの濃さは何%になりましたか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

ん?今までやってきたパターンかな?
同じ量を交換して・・・異なる濃さ・・・かな。

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さっきまでとの違いは、

「同時に交換をしていない」
という点です。

 

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なるほど、同時交換じゃないんだな。

で・・・
「総量に着目すれば、交換前も後も何も変わっていない」
はこの問題にも成り立ちますね。

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その通りです。

「総量に着目すれば、交換前も後も何も変わっていない」
いう解法テクニックは、「同時交換」のときだけに使える解き方ではありません。
「同時でない交換」のときにだって使えるときには使える。

どんなときに使えるのか。
「総量に着目すれば、交換前も後も何も変わっていないとき」
としか言いようがないけどね。

 

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はい。

交換前
A:3%の食塩水200g
B:15%の食塩水400g
この2つを混ぜたら、濃さが11%です。

交換後、等しい量を移したから、全体の量は交換前と同じ。
A:7%の食塩水200g
B:?%の食塩水400g
この2つを混ぜても濃さが11%、いつものパターンですね。

7%200gと?%400gを混ぜると濃さが11%になる。
これは面積図の基本で解決ですね。
?=13
Bの濃さは13%になりました!

 

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大正解!

あとはくみ出した量、□gも求めてね。

 

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Aから移した3%の食塩水□gと、B15%の食塩水400g
この2つを混ぜたら、濃さが13%になったということ。

これも面積図の基本で解決ですね。
□=80
移した食塩水の量は80gです!

 

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大正解!

確かめもしておこうか。
この後、Bから13%の食塩水80gをAの残りに入れる。
Aには、200-80=120(g)の食塩水が残っているのだから、

Aの残り3%の食塩水120gと、Bから移した13%の食塩水80g
この2つを混ぜた濃さが、7%になれば問題の条件と矛盾なしです。
ちょろっと計算すれば7%になり、正解していることが確かめられますね。

 

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毎度のことですけど、今回も食塩の量に着目でも簡単に解けますね。
ちょっとやってみようか。

 

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食塩は、
Aにはじめ、6g
Bにはじめ、60g
そして、
A交換後、14g
B交換後、□g 

食塩の総量は交換前と後で同じだから、
6+60=14+□
より、□=52
  
つまり、B400gでとけている食塩は52g
だから濃さは13%!

 

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うん、正解です。

 

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ところで・・・

「同時ではない交換」でも、
交換した量は同じか異なるか、
交換後の濃さが同じか異なるか、
全部で2×2=4
4パターンあるということですか?

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いや、そこは違うんだ。

「同時ではない交換」のあと、2つの食塩水の濃さが等しくなることはないよ。

 

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え?そうなの?

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うん、Aが濃くて、Bが薄いとする。
AからBへ入れると、Bがやや濃くなるけど、絶対にAと同じ濃さにはならない。
必ずAよりは薄い食塩水になる。
次にBからAへ入れると、Aがやや薄くなるけど、絶対にBと同じ濃さにはならない。
必ずBよりは濃い食塩水になる。
これを何回くりかえしても同じこと。濃さは近づいていくけど、決して同じ濃さになることはないよ。

 

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確かに、そうですね。

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だから、「同時ではない交換」では、
交換した量は同じか異なるかの2パターンということです。

交換した量が同じでも異なるときでも、「総量に着目すべきときは着目する」という重要ポイントは共通だからね。

 

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