邪魔の入る仕事算、これがニュートン算です。
代表例は、水そうから水をくみ出す仕事をしながらも、一方で水そうに水が入り続ける問題です。他にも、牧草を牛が食べて減らしていくが、一方で草が伸び続ける、などのパターンがあります。

ニュートン算

目次

  1. 時間と距離が正比例▶例題1
  2. 秒速・分速・時速▶例題1〜6

ここはコラムとして別にするかカット?
   
先生  仕事算もマスターしてきたね。
    次はニュートン算だ。

子   ニュートン算? 変な名前ですね。

先生  ニュートンって聞いたことある?

子  リンゴの人ですよね。
   リンゴが落ちて、それで引力に気づいたって人。

先生  よく知っているね。ニュートン算はそのニュートンが作った問題だと言      われているよ。
    
子  ところでリンゴが落ちて引力に気づいたって、どういうことなんですか?
   物は必ず落ちるし。
   そんなこと、幼稚園児だって知ってますけど。

  先生   ニュートン算とは関係ない話だけど、ちょっと脱線しようかね。 
リンゴで気づいたっていうのは、どうも後の人の作り話らしいけどね。
    ニュートンはね、あらゆる物同士が引きあっているっていうことを数学     的に説明した人なんだ。万有引力っていわれているよ。

子   ? 

先生  ~くんはジャンプしても必ず落ちるのは、地球の引力に引かれているから     だって話は知ってる?

子   はい、常識ですよ。

先生  物を引っぱる引力があるのは地球だけじゃなくて、~くんだって地球を引きよせいている引力があるんだよ。~くんとそこのえんぴつだってそれぞれの間に引力がある。あらゆる物が引き合っている。これが万有引力。

子  でも鉛筆は自分の方にピクリとも動きませんけど。。。

先生 うん。引力はとても弱くてね、地球くらい大きくないとなかなか感じられないんだよ。
だから、日常生活をしている限り、引力が万有だなんて夢にも思わない。
地面だけが引力を持っていると思うよね。

子  そうですね。

先生  もっと言うとさ、地面が引力を持っているって思わないでしょ?
    地面にひっぱられてるって感じたことないよね?
    物は下に落ちるって思うよね?
    物が地面に引き寄せられているって言わないでしょ。
    
子   ああ、そうかも。

先生  なんで下に落ちるのか?って不思議に思うことさえないよね

子   はい。

先生  そんな中、ニュートンはあらゆる物は引き合っているってことがわかっちゃたわけですよ、それはリンゴが落ちたのを見て気づいたわけじゃないよ。

子   どうして分かったんですか?

先生  月なんだ。
    
子   ?

先生  月はどうして地球に落ちてこないのだろうか、
    という疑問にきちんと答え出したんだよ。
    もう少しくわしく言うと、様々な惑星の動きがとてもくわしく観測されていて、データがたくさんあったんだけど、どうしてそのような動きをしているかまで数学的に説明することに成功したんだ。

子  月は地球の周りをまわっていて、落ちてきません。

先生  うん、なんで落ちてこないのかな?まわっているから?
    
子  こどもなのでわかりませーん。

先生  そうだね。わからなくていいよ。大人だってよくわかってない人ばかりだ    し。
    昔はね、空に浮かんでいる星の世界はね、地上の世界とは全く別の世界、    だと思われていたんだよ。
     ~くんも想像してごらんよ。宇宙ロケットが飛ぶずっと前の時代のこと     を。
    地上の世界と天の世界は全く別の世界。
    だから月は落ちてこない。
    いや、正しくは月が落ちるなんて夢にも思わないよ。
    そもそも星とか月とか太陽に対してさ、落ちてくるって発想さえ浮かばな    いでしょ?
    幼児のころから見ていて、そういうものだから。
    日常生活とはまったく別の世界なんだよ、空の星々は。
    現代人にとってもそうでしょ。
    
子   そうかも・・・

先生  そんな時代に「地上でリンゴが落ちるのと、月が地球の周りをまわっているのは同じ法則による」って解明したのがニュートンなの。

子   なんだか、ニュートンって凄いのかも。

先生  うん、ニュートンは人類史上でも10本の指に数えられる大天才だよ。
リンゴが落ちて引力に気づいた人っていうなんだか凄いんだかどうだかよくわかない人って思われているみたいなんだけどさ。

子  とにかく凄い人なんですね。

先生   ニュートンの業績をきちんと学習するには、かなり高度な数学が必要なんだ。高校生になって物理を学習する日をお楽しみにってところなんだけど、
小学生にもなんとなく「へえー」って思える話まではしておこうかな。
「地上でリンゴが落ちるのと、月が地球の周りをまわっているのは同じ法則による」ってところ。

けっこう高いところから、とても速くボールを投げたらどうなるのか
が下図1だ
  
    図1

先生  どう? もっと高い所から、もっと速くボールを投げたら・・・?

子  あ! 1周してもどってきます。

先生  そうだね。ぐるぐるとボールは地球の周りを回り続けるんだよ。
    これが月。月は天の世界の特殊な法則に従っているわけじゃなくて、
    リンゴと同じように地球に引っ張られているんだよ。

子  へえーー

先生    これ以上は立ち入らないよ。物理が面白そうだなって思ってもらえれ     ば十分。小学生は小学生がやるべき勉強をしよう。
     中学高校と勉強していけば、このようは話題に到達できるから          ね。
  
     ずいぶん脱線したけど、ニュートン算にもどるよ。

子   大天才の問題なんでしょ。なんだか難しそうだな。。。

先生   ニュートン算は別に難しくないから安心してね。
     ニュートンの違業とはほんとに無関係。
     ただの小学生用の算数だよ。


    

1:レベル1 邪魔のある仕事算

例題1-1

水そうに30Lの水が入っています。ここに水を毎分2Lずつ入れながら、ポンプで毎分8Lずつくみだします。水そうは何分で空になりますか。

解説

吹き出し用カンガルー先生イラスト

仕事算もマスターしてきたね。
次はニュートン算だ。

吹き出し用まなぶくんイラスト

ニュートン算? 
変な名前ですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

上の例題のように、「邪魔が入る仕事算」がニュートン算だと思ってください。
正しくはニュートン算の入門版なんだけどね。
   
とにかく解いてみてね。準備運動といったところです。

吹き出し用まなぶくんイラスト

毎分2L入れて、毎分8Lくみ出す。つまり、
毎分6Lずつ水が減っていくことがわかります。

30÷(8-2)=5分 
5分で空になります!簡単です!!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

OK!
簡単だったでしょ?
 
上の例題は、学くんが解いたように、下の式のようになっている。
仕事算の式だよね。
「仕事量が、邪魔の分だけ減る」
ここだけがちょっと違うところだね。


中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0010
吹き出し用カンガルー先生イラスト

この式の4つの値のうち、3つを与えて、1つを隠せば問題がつくれる。
隠した1つを求めさせる問題だ。

どこを求めさせるかで4パターンの問題がつくれるわけです。

この4パターンの問題なんだけど、それぞれ別の4パターンの解き方があると思ってはダメだよ。
どのようなパターンでも、同じ形の仕事算の式で表せるのだから、常に上の仕事算の式をかけばいいのです。
あとはその式をみて、求めるべき所を、計算なり、逆算をすれば良い。

解き方はたった1つ。
仕事算の式をかくこと。

では準備運動の続きだよ。

例題1-2

水そうに水が入っています。毎分3L入れながら、ポンプで毎分10リットルくみだすと5分で空になりました。はじめ水そうに入っていた水は何Lですか。 

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

問題を仕事算の式で表します。
□÷(10-3)=5分

あとは計算するだけですね。
□=35

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OK!正解です!

例題1-3

水そうに90Lの水が入っています。毎分一定量の水をいれながら、ポンプで毎分12リットルずつくみだすと10分で空になりました。毎分何Lの水をいれましたか。

解説

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同じ仕事算の式で、□の位置だけが違うわけだ。
90÷(12-□)=10分 

あとは計算するだけですね。
□=3

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OK!正解です。

例題1-4

水そうに24Lの水が入っています。毎分2L入れながら、ポンプで毎分一定量の水をくみだすと8分で空になりました。ポンプは毎分何Lの水をくみだしましたか。 

解説

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同じ仕事算の式ですね。
たった1つの式で、あらゆるパターンに対応できるわけですね。

24÷(□-2)=8分

あとは計算するだけですね。
□=5

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OK!正解です!

保護者さまへ
  
もちろん別解もあります。
例えば、例題1-2は
追加した水量は、3×5=15(L)
くみ出した量は、10×5=50(L)

(はじめの量)+(追加量)=(くみ出した量)

なので、

はじめの量は、50-15=35(L)
と求まります。

算数が得意な一部の子を除けば、まずは「たった1つの解法をマスターする」ことを目指したほうが良いです。
解き方に選択肢がなくなるため、混乱なく学習がスムーズに進みます。

例題2-2

ある水そうとそれに水を入れるじゃ口Aがあります。空の水そうにじゃ口Aで水を入れると、30分で満水になります。また、満水の水そうからポンプ1つで水をくみ出すと20分で空になります。満水の水そうに、じゃ口Aで水を入れながら、ポンプ1つで水をくみ出します。何分で空になりますか。

解説

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具体値がまったくないけど・・・
さっきの例題とまったく同じ仕組みの問題ですね。

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その通り。具体値はわからないけど、比は与えられている。
まさに仕事算だよね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

満水を60としてみます。

満水   60
A    1分に入れる
ポンプ  1分に出す
ポンプとA 1分に出す

60÷=60(分)
求まりました。60分です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

先生  完璧です。大正解!!