邪魔の入る仕事算、これがニュートン算です。
代表例は、水そうから水をくみ出す仕事をしながらも、一方で水そうに水が入り続ける問題です。他にも、牧草を牛が食べて減らしていくが、一方で草が伸び続ける、などのパターンがあります。

4:ニュートン算

目次

  1. 時間と距離が正比例▶例題1
  2. 秒速・分速・時速▶例題1〜6

ここはコラムとして別にするかカット?
   
先生  仕事算もマスターしてきたね。
    次はニュートン算だ。

子   ニュートン算? 変な名前ですね。

先生  ニュートンって聞いたことある?

子  リンゴの人ですよね。
   リンゴが落ちて、それで引力に気づいたって人。

先生  よく知っているね。ニュートン算はそのニュートンが作った問題だと言      われているよ。
    
子  ところでリンゴが落ちて引力に気づいたって、どういうことなんですか?
   物は必ず落ちるし。
   そんなこと、幼稚園児だって知ってますけど。

  先生   ニュートン算とは関係ない話だけど、ちょっと脱線しようかね。 
リンゴで気づいたっていうのは、どうも後の人の作り話らしいけどね。
    ニュートンはね、あらゆる物同士が引きあっているっていうことを数学     的に説明した人なんだ。万有引力っていわれているよ。

子   ? 

先生  ~くんはジャンプしても必ず落ちるのは、地球の引力に引かれているから     だって話は知ってる?

子   はい、常識ですよ。

先生  物を引っぱる引力があるのは地球だけじゃなくて、~くんだって地球を引きよせいている引力があるんだよ。~くんとそこのえんぴつだってそれぞれの間に引力がある。あらゆる物が引き合っている。これが万有引力。

子  でも鉛筆は自分の方にピクリとも動きませんけど。。。

先生 うん。引力はとても弱くてね、地球くらい大きくないとなかなか感じられないんだよ。
だから、日常生活をしている限り、引力が万有だなんて夢にも思わない。
地面だけが引力を持っていると思うよね。

子  そうですね。

先生  もっと言うとさ、地面が引力を持っているって思わないでしょ?
    地面にひっぱられてるって感じたことないよね?
    物は下に落ちるって思うよね?
    物が地面に引き寄せられているって言わないでしょ。
    
子   ああ、そうかも。

先生  なんで下に落ちるのか?って不思議に思うことさえないよね

子   はい。

先生  そんな中、ニュートンはあらゆる物は引き合っているってことがわかっちゃたわけですよ、それはリンゴが落ちたのを見て気づいたわけじゃないよ。

子   どうして分かったんですか?

先生  月なんだ。
    
子   ?

先生  月はどうして地球に落ちてこないのだろうか、
    という疑問にきちんと答え出したんだよ。
    もう少しくわしく言うと、様々な惑星の動きがとてもくわしく観測されていて、データがたくさんあったんだけど、どうしてそのような動きをしているかまで数学的に説明することに成功したんだ。

子  月は地球の周りをまわっていて、落ちてきません。

先生  うん、なんで落ちてこないのかな?まわっているから?
    
子  こどもなのでわかりませーん。

先生  そうだね。わからなくていいよ。大人だってよくわかってない人ばかりだ    し。
    昔はね、空に浮かんでいる星の世界はね、地上の世界とは全く別の世界、    だと思われていたんだよ。
     ~くんも想像してごらんよ。宇宙ロケットが飛ぶずっと前の時代のこと     を。
    地上の世界と天の世界は全く別の世界。
    だから月は落ちてこない。
    いや、正しくは月が落ちるなんて夢にも思わないよ。
    そもそも星とか月とか太陽に対してさ、落ちてくるって発想さえ浮かばな    いでしょ?
    幼児のころから見ていて、そういうものだから。
    日常生活とはまったく別の世界なんだよ、空の星々は。
    現代人にとってもそうでしょ。
    
子   そうかも・・・

先生  そんな時代に「地上でリンゴが落ちるのと、月が地球の周りをまわっているのは同じ法則による」って解明したのがニュートンなの。

子   なんだか、ニュートンって凄いのかも。

先生  うん、ニュートンは人類史上でも10本の指に数えられる大天才だよ。
リンゴが落ちて引力に気づいた人っていうなんだか凄いんだかどうだかよくわかない人って思われているみたいなんだけどさ。

子  とにかく凄い人なんですね。

先生   ニュートンの業績をきちんと学習するには、かなり高度な数学が必要なんだ。高校生になって物理を学習する日をお楽しみにってところなんだけど、
小学生にもなんとなく「へえー」って思える話まではしておこうかな。
「地上でリンゴが落ちるのと、月が地球の周りをまわっているのは同じ法則による」ってところ。

けっこう高いところから、とても速くボールを投げたらどうなるのか
が下図1だ
  
    図1

先生  どう? もっと高い所から、もっと速くボールを投げたら・・・?

子  あ! 1周してもどってきます。

先生  そうだね。ぐるぐるとボールは地球の周りを回り続けるんだよ。
    これが月。月は天の世界の特殊な法則に従っているわけじゃなくて、
    リンゴと同じように地球に引っ張られているんだよ。

子  へえーー

先生    これ以上は立ち入らないよ。物理が面白そうだなって思ってもらえれ     ば十分。小学生は小学生がやるべき勉強をしよう。
     中学高校と勉強していけば、このようは話題に到達できるから          ね。
  
     ずいぶん脱線したけど、ニュートン算にもどるよ。

子   大天才の問題なんでしょ。なんだか難しそうだな。。。

先生   ニュートン算は別に難しくないから安心してね。
     ニュートンの違業とはほんとに無関係。
     ただの小学生用の算数だよ。

 


    

1:レベル1 邪魔のある仕事算

例題1

水そうに30Lの水が入っています。ここに水を毎分2Lずつ入れながら、ポンプで毎分8Lずつくみだします。水そうは何分で空になりますか。

解説

吹き出し用カンガルー先生イラスト

仕事算もマスターしてきたね。
次はニュートン算だ。

吹き出し用まなぶくんイラスト

ニュートン算? 変な名前ですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

上の例題のように、「邪魔が入る仕事算」がニュートン算だと思ってください。
正しくはニュートン算の入門版なんだけどね。
   
とにかく解いてみてね。準備運動といったところです。

吹き出し用まなぶくんイラスト

毎分2L入れて、毎分8Lくみ出す。つまり、
毎分6Lずつ水が減っていくことがわかります。

30÷(8-2)=5分 
5分で空になります!簡単です!!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

OK!
簡単だったでしょ?
 
上の例題は、学くんが解いたように、下の式のようになっている。
仕事算の式だよね。
「仕事量が、邪魔の分だけ減る」
ここだけがちょっと違うところだね。

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0010
吹き出し用カンガルー先生イラスト

この式の4つの値のうち、3つを与えて、1つを隠せば問題がつくれる。
隠した1つを求めさせる問題だ。

どこを求めさせるかで4パターンの問題がつくれるわけです。

この4パターンの問題なんだけど、それぞれ別の4パターンの解き方があると思ってはダメだよ。
どのようなパターンでも、同じ形の仕事算の式で表せるのだから、常に上の仕事算の式をかけばいいのです。
あとはその式をみて、求めるべき所を、計算なり、逆算をすれば良い。

解き方はたった1つ。
仕事算の式をかくこと。

では準備運動の続きだよ。

 

例題1-2

水そうに水が入っています。毎分2L入れながら、ポンプで毎分8リットルくみだすと5分で空になりました。はじめ水そうに入っていた水は何Lですか。 

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

問題を仕事算の式で表します。
□÷(8-2)=5分

あとは計算するだけですね。
□=30

吹き出し用カンガルー先生イラスト

OK!正解です!

 

例題1-3

水そうに30Lの水が入っています。毎分一定量の水をいれながら、ポンプで毎分8リットルずつくみだすと5分で空になりました。毎分何Lの水をいれましたか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

同じ仕事算の式で、□の位置だけが違うわけだ。
30÷(8-□)=5分 

あとは計算するだけですね。
□=2

吹き出し用カンガルー先生イラスト

OK!正解です。

 

例題1-4

水そうに30Lの水が入っています。毎分2L入れながら、ポンプで毎分一定量の水をくみだすと5分で空になりました。ポンプは毎分何Lの水をくみだしましたか。 

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

同じ仕事算の式ですね。
たった1つの式で、あらゆるパターンに対応できるわけですね。

30÷(□-2)=5分

あとは計算するだけですね。
□=8

吹き出し用カンガルー先生イラスト

OK!正解です!

保護者さまへ
  
もちろん別解もあります。
例えば、例題1-2は
追加した水量は2×5=10
くみ出した量は、8×5=40

はじめの量+追加量=くみ出した量

なので、

はじめの量は、40-10=30L
と求まります。

算数が得意な一部の子を除けば、まずは「たった1つの解法をマスターする」ことを目指したほうが良いです。
解き方に選択肢がないため、混乱なく学習がスムーズに進みます。
 

 

例題2-2

ある水そうとそれに水を入れるじゃ口Aがあります。空の水そうにじゃ口Aで水を入れると、30分で満水になります。また、満水の水そうからポンプ1つで水をくみ出すと20分で空になります。満水の水そうに、じゃ口Aで水を入れながら、ポンプ1つで水をくみ出します。何分で空になりますか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

具体値がまったくないけど・・・
さっきの例題とまったく同じ仕組みの問題ですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

その通り。具体値はわからないけど、比は与えられている。
まさに仕事算だよね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

満水を60としてみます。

満水   60
A    1分に入れる
ポンプ  1分に出す
ポンプとA 1分に出す

60÷=60(分)
求まりました。60分です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

先生  完璧です。大正解!!        

練習問題
  

例題2-2

ここはまだ未作成!!途中!!!

ある水そうとそれに水を入れるじゃ口Aがあります。空の水そうにじゃ口Aで水を入れると、12分で満水になります。また、満水の水そうからポンプ1つで水をくみ出すと40分で空になります。満水の水そうからポンプ6つで水をくみ出すと同時にじゃ口Aから水をいれます。何分で空になりますか。

解説

子  具体値がまったくない。仕事算ですね。
  
○    ○120
A    ⑩入れる
ポンプ  ③出す
ポンプ6台とA  ⑧出す                15分

先生  大正解!
子   邪魔のある仕事算でしたけど・・・
先生  そうだね。
    まだこれもニュートン算ではないんだけどね。

練習問題
ある水そうとそれに水をいれるじゃぐちAがあります。空の水そうにじゃぐちAで水を入れると、40分で満水になります。また、満水の水そうからポンプBで水をくみ出すと20分で空になり、満水の水そうからポンプCで水をくみ出すと24分で空になります。
1 ABCを同時  15分で満水
2 ABC同時だったが、途中でAがこわれた。その結果、21分で空にならった。  つるかめ
○120
A ③入れる
B ⑥出す
C ⑤出す
ABC ⑧出す 
—————————————————————-

★★☆これは見比べがあるから・・・ニュートン算っぽいな。。。。
底に穴のあいた容器に、AB2つのじゃ口を使って水を入れます。穴があいたままAを使うと、18分後に、穴のあいたままABの両方を使うと10分後に容器は満水になります。また、穴をふさぎAB両方を使うと、9分後に満水になります。
1 穴をふさぎBだけ使うと何分で満水?   22.5分
2 満水から穴から水を流すと何分で空?   90分
3 はじめはA-穴 で途中からAとBと穴で 13分で満水になりました。
   つるかめ  

A-穴    ⑤  18分
A+B-穴 ⑨  10分
A+B   ⑩   9分
A ⑥
B ④
穴 ①
———————————————————
ひとつ前の変更が可能か実験中 途中  普通のニュートン算にしかならない??
底に穴のあいた容器に、いくつかのじゃ口を使って水を入れます。穴があいたまま3つを使うと、18分後に、穴のあいたまま7つを使うと10分後に容器は満水になります。また、穴をふさぎ5つを使うと、9分後に満水になります。
1 穴をふさぎじゃぐち1つだけ使うと何分で満水?   27.5分
2 満水から穴から水を流すと何分で空?   90分
3 はじめはA-穴 で途中からAとBと穴で 13分で満水になりました。
   つるかめ  

全  〇55
3つ-穴   ⑤  11分
7つ-穴   ⑪   5分
5つ   ⑩   5.5分
1つ ②
穴  ③
 

2:レベル2 はじめの量ありのニュートン算

例題1

水そうに250Lの水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。ポンプ1台でくみだすと25分で空になり、ポンプ2台でくみだすと10分で空になります。
ポンプ7台でくみだすと何分で空になりますか。  

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

なんだか複雑になりましたね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

うん。でも、今までと同じ状況の問題であることはわかるよね。
だから、同じように問題の状況を整理してみよう。   

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そうですね。 
「ポンプ1台でくみだすと25分で空になる」だから・・・
下のような式になります。

  

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0070
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うん、そういうことだよ。

ここでちょっと助けるね。  

ポンプ1台が1分にする仕事量は、「?」じゃなくて、①にしましょう。
すると、
ポンプ2台が1分にする仕事量は、②
ポンプ7台が1分にする仕事量は、⑦
と表せる。
「比」の活用はいつも意識しておいてね。

吹き出し用まなぶくんイラスト

なるほど。これで、2つの仕事の式がかけます。

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0080
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この2つの式からわかることがあるでしょ。
もう1歩進むと?

吹き出し用まなぶくんイラスト

かっこ( )の中が計算できます。  
     
250÷(①-邪魔)=25分 ⇒ ①-邪魔=10L 
250÷(②-邪魔)=10分 ⇒ ②-邪魔=25L

  

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0090
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OK!
新しくわかったことを用いて、さらにもう1歩進めるね。
2つの式を見比べてみる。
下が上より15L多いのはなぜだろうか。

吹き出し用まなぶくんイラスト

1分あたりの仕事量の差、15Lは、ポンプ1台の仕事量①と等しいことがわかります! 

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0100
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大正解!ちなみにこれは「消去算」を解いたのと同じことなんだよ。
今回は、「邪魔」がはじめからそろっていたということ。
では、①=15Lを用いて問題を解いてちょーだい!

吹き出し用まなぶくんイラスト

邪魔が毎分5Lであることもわかりますね。

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0110
吹き出し用まなぶくんイラスト

で、ポンプ7台でくみだすと何分で空になるかを求めます。

  250÷(⑦-邪魔)=?分

 ①=15、 邪魔=5だから、
    250÷(105-5)=?分

   ?=2.5分です!

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お見事!大正解です!!
    式で整理していったら、自然とやるべき方向が見えてきたでしょ。
    消去算の要素も入っていたね。
    これがニュートン算を解くときの流れだよ。

    ちなみにこの問題はニュートン算簡単版だ。
    次にいよいよニュートン算標準版をやるよ。

保護者さまへ
  
この問題をニュートン算と呼んでも、間違っているわけではありません。
どこからどこまでをニュートン算とする、という明確な基準もありませんので。     

3:レベル3 はじめの仕事量が不明なニュートン算

例題1

水そうに水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。満水からはじめて、ポンプ3台でくみだすと35分で空になり、ポンプ5台でくみだすと15分で空になります。満水からはじめて、ポンプ9台でくみだすと何分で空になりますか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

さっきとそっくりな問題ですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そうだね。何が違うかな?

吹き出し用まなぶくんイラスト

はじめの水量が不明です。さっきは250Lと与えられてました。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

うんその通り。
これこそが「ニュートン算」の標準版だ。
では、今回ははじめてのニュートン算に取り組むことだし、先生がヒントをあげることにします。

前から確認していることだけど、ニュートン算って「邪魔のある仕事算」だよね。

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そうですね。この問題もそうです。
具体値がまったくないところも仕事算そっくりです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

仕事算って、全仕事量を勝手に決めて解くでしょ。
具体的な仕事量は最後までわからない。比だけがわかる。
だから全仕事量を計算しやすい適当な数値に決めて解いてしまう。
今回もそれを採用すればよい。
だって「ニュートン算」は「仕事算」の変形版にすぎないのだから。

では、はじめの水量をいくつにして解いていこうか?

 

吹き出し用まなぶくんイラスト

    
仕事算と同様に解くならば・・・時間の最小公倍数。
35と15の最小公倍数の105にしてみます。

ポンプ3台の1分の仕事を③
ポンプ5台の1分の仕事を⑤とすれば・・・下のようになりますね。

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0310
吹き出し用カンガルー先生イラスト

OK!あとは計算をすすめていくだけで答えがでるよ。
やってごらん!

吹き出し用まなぶくんイラスト

まずは、かっこ( )の中が計算できますね。

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0320
吹き出し用まなぶくんイラスト

なぜ下は多いのか。
それは②多いから。
②=
     
つまり、○だけの式か、□だけの式にできる!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

うまくいっているよ!
でね、○にそろえても、□にそろえても、どちらでもきちんと解けるんだ。
だから、どちらでもいいのだけれど・・・

おすすめは○かな。

なぜなら、ポンプ1台の1分の仕事を①としているから。
もし、□にそろえると、   
ポンプ1台の1分の仕事はとなる。
混乱さえしなければ問題なく解けるのだけどね。  

吹き出し用まなぶくんイラスト

じゃあ、○にそろえてみます。
②=だから、
  ①=
  で・・・

図1
吹き出し用まなぶくんイラスト

で、最後の仕事算をやれば終了ですね。
ポンプ9台でくみだすと何分で空になるのだから・・・

図1
中学受験算数カンガループリント ニュートン算 0340 
吹き出し用まなぶくんイラスト

52.5÷7.5=7

 答えがでました!7分です。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

大正解!カンペキな解き方です。
ニュートン算は、仕事算みたいにはじめの仕事量をおいてしまえばいい。
あとは自動的に計算が進むからね。
比の扱いや消去算という要素が入ってくるだけだよ。

ニュートン算ってこれだけ。
もう全部教えちゃった!

吹き出し用まなぶくんイラスト

これだけ・・・けっこう簡単な気もするけど・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

たくさん練習問題をやって、自信をつけていくのみなのだ! 

とりあえずここまでで完成!!

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
レベル3
始めの量不明だが、邪魔か汲みだし量が与えられているタイプ。
2種類の比の操作。⇒どちらも、はじめの仕事量をおく、仕事算的解き方で解決!!

パターンA
水そうに水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。ポンプ4台でくみだすと、20分で空になり、ポンプ9台でくみだすと、8分で空になります。はじめ水そうに入っていた水の量は何Lですか。ただしポンプは1台で毎分9Lの水をくみ出すことができます。

解説
子   さっきの問題と似てますね。

先生  似ているんだから、似たように解いてみればいいよ。
    もし何か違っていたら、そのときその場で考えるしかないさ。

子   
はじめ÷(36L-邪魔)=20分
はじめ÷(81L-邪魔)=8分   

はじめは□80とおく!!

はじめ□80÷(36L-邪魔)=20分
          □4
はじめ□80÷(81L-邪魔)=8分 
          □10

□6=45L であることがわかります。よって邪魔=6Lです。

はじめ□80÷(36L-邪魔)=20分
    600     6
はじめ□80÷(81L-邪魔)=8分

はい、さっきと同じようにやったら解けました。

先生  そうだね。それで十分合格点!!
    ところで、さっきの問題と今回の問題は何が違ったのかな。

子   ポンプのくみ出す具体的な量が9Lと与えられています。

先生  そうだね。実はさっきの問題よりも、この問題の方が与えられている情報    が多かったんだよ。
    とにかくニュートン算はこの式のまとめ方で必ずうまくいくからね。      別解もたくさんあるんだけど、まずは1つ、得意な形を盤石に固めよう    ね。
  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 

さて、ここで困ってしまいます。しかし、ニュートン算は仕事算なんです!
仕事算ははじめに仕事量が与えられない問題ばっかりですよね。そんな時は
勝手に仕事量を決めて解きましたね。ニュートン算も仕事算なので、同様の解き方をすればいいんです。覚えてしまいましょう。

パターンB

水そうに水が入っていて、毎分10Lの水が流入しています。ポンプ3台でくみだすと、30分で空になり、ポンプ5台でくみだすと、14分で空になります。はじめ水そうに入っていた水の量は何Lですか。

解説 はじめの量がわからないですね。”はじめ”と表示しておいて立式しましょう。
はじめ ÷ (○3-10L)=30分
はじめ ÷ (○5-10L)=14分

さて、ここで困ってしまいます。しかし、ニュートン算は仕事算なんです!
仕事算ははじめに仕事量が与えられない問題ばっかりですよね。そんな時は
勝手に仕事量を決めて解きましたね。ニュートン算も仕事算なので、同様の解き方をすればいいんです。覚えてしまいましょう。

はじめ=□210 とおくと、
はじめ□210 ÷ (○3-10L)=30分
はじめ□210 ÷ (○5-10L)=14分
  ↓
はじめ□210 ÷ (○3-10L)=30分
            □7
はじめ□210 ÷ (○5-10L)=14分
            □15

つまり、○2=□8  がわかる。よって邪魔10L=□5 とわかる。
   これで全容解明ができます。問題で聞かれている箇所以外もすべて分かります。
はじめ420 ÷ (24-10L)=30分
はじめ420 ÷ (40-10L)=14分

はじめに立式した時点で、未知数2つ、式2つなので、完全解明できる、ということは知っておいて損はないでしょう。

          

レべル4 完全不明・ニュートン算
もっと計算簡単なやつにおきかえ予定
水そうに水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。ポンプ3台でくみだすと、35分で空になり、ポンプ5台でくみだすと、15分で空になります。ポンプ9台でくみだすと何分で空になりますか。

解説 いよいよニュートン算
はじめ ÷ (○3-邪魔)= 35分
はじめ ÷ (○5-邪魔)= 15分

はじめ ÷ (○3-邪魔)= 35分
 □105      □3
はじめ ÷ (○5-邪 魔)= 15分
         □7
○2=□4だから、邪魔が□3、〇1.5 だと分かる。

はじめ ÷ (○3-邪魔〇1.5)= 35分
 〇35×1.5        □3
はじめ ÷ (○5-邪魔〇1.5)= 15分
         □7

最後の仕事算をやれば終了。
はじめ ÷  (○9-邪魔〇1.5)= ?分   7分
 〇35×1.5      〇7.5

例題——————————————-
ポンプで満水の井戸水をすべてくみ出すのにポンプ3台だと9時間、ポンプ4台だと6時間かかります。ポンプ10台では何時間かかりますか。ただし、常に一定量の水がわき出ているものとします。
はじめ ÷ (○3-邪魔)= 9時間
はじめ ÷ (○4-邪魔)= 6時間

はじめ ÷ (○3-邪魔)= 9時間
 18      2
はじめ ÷ (○4-邪魔)= 6時間
 〇18     3     邪魔=①

〇18÷(〇10-①)=2時間
—————————————————— 
牧場に草が生えています。ここに60頭の牛を放すとちょうど30週間で草をたべつくし、80頭の牛を放すとちょうど20週間で草を食べつくします。1週間で1頭の牛が食べる草の量と、1週間で生える草の量はそれぞれ一定であるものとして、次の問いに答えなさい
1 。1週間で1頭の牛が食べる草の量と、1週間で生える草の量との比はいくらですか。  1:20
2 この牧場に100頭の牛を放すと何週間で草を食べつくしますか。   15週間
はじめ ÷ (○60-邪魔)= 30週間
はじめ ÷ (○80-邪魔)= 20週間

はじめ ÷ (○60-邪魔)= 30週間
 60       2
はじめ ÷ (○80-邪魔)= 20週間
60        3  1=〇20なので

はじめ ÷ (○60-邪魔)= 30週間
 〇1200     〇40
はじめ ÷ (○80-邪魔)= 20週間
 〇1200         〇60  邪魔=〇20

〇1200÷(〇100-〇20=15週間
—————————————————–
満水時に水が5400Lたまっている井戸があり、毎分一定の量の水がわきだしています。満水時の井戸の水をすべてくみ出すのにポンプ2台だと10時間、ポンプ4台だと3時間45分かかります。ただし、ポンプはすべて毎分一定の量の水をくみ出します。
1 ポンプ1台で1分間にくみ出す水の量を求めなさい。
2 満水時の井戸の水をポンプ3台でくみだしはじめ、途中からポンプ5台でくみ出すと、すべてくみ出すのに合計4時間かかりました。ポンプ5台でくみだした時間は何時間何分か求めなさい。  
7.5
1時間36分

5400÷(②-邪魔)=10時間
5400÷(④-邪魔)=3時間45分
—————————————————
水そうに水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。ポンプAでくみだすと、60分で空になり、ポンプBでくみだすと20分で空になります。ポンプAとBを同時に使ってくみだすと12分で空になります。
1 この水そうが空のとき、ポンプを使わないと何分で満水になりますか。
2 ポンプAとBの両方でくみ出し始めましたが、途中でAが故障したので、水そうが空になるまでに18分かかりました。Aが故障したのは?

はじめ ÷ (A-邪魔)= 60分
        ①
はじめ ÷ (B-邪魔)= 20分
        ③
はじめ ÷ (A+B-邪魔)= 12分
          ⑤
A② B④ 邪魔①  はじめ〇60
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穴のあいた水そうに水をいれます。この穴から毎分一定量の水がもれます。毎分13Lずつ水を入れると20分でいっぱいになりまり、毎分25Lずつ水を入れると10分でいっぱいになります。この水そうの容積は何Lですか。

満水 ÷ (13-邪魔)= 20分
       ①
満水 ÷ (25-邪魔)= 10分
        ②           ①=12  邪魔=1L  120L
いつも一定量の水が湧き出る井戸があります。この井戸の水を同じ性能のポンプでくみだします。5台のポンプで20分間くみだすと井戸の水は最初にあった量の半分になり、つづいて3台のポンプで40分間くみだすと井戸は空になります。はじめから6台のポンプでくみだすと何分で井戸は空になりますか。

半分÷(⑤-邪魔)=20分
半分÷(③-邪魔)=40分
       邪魔=①   半分=〇80
〇160÷(⑥-①)=32分

減らす と 増やす
いつも一定量の水が湧き出る井戸があります。この井戸の水を同じ性能のポンプでくみだします。3台のポンプで45分間くみだすと井戸の水は空になります。また、空の状態で1台のポンプで水をくみだすと井戸は27分で満水になります。ポンプを使わないと、空の状態から何分で井戸は満水になりますか。

満水÷(③-入水)=45
     △3
満水÷(入水-①)=27
     △5
足すと入水が消える、②=△8
よって
満水÷(△12-△9入水)=45
△135     △3
満水÷(△9入水-△4)=27
     △5
△135÷△9=15分

新作 上級向け
水そうに水が入っていて、毎分一定量の水が流入しています。ポンプ4台で全体の3分の1になるまでくみだした後にポンプ5台でくみ出すと全部で70分で空になり、ポンプ5台で全体の3分の1になるまでくみだした後にポンプ4台でくみだすと全部で80分で空になります。はじめからポンプ7台を使ってくみだすと何分で空になりますか。

a+bb=70 
b+aa=80
a30 b20

はじめ÷(A-邪魔)=90分
  180   4   2         
はじめ÷(B-邪魔) =60分
5  2

180÷(  7-2)=36分

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片方が水抜き 片方が満水 パターン 土特でみたやつとか

★もしも電車の速さが4:5だったら・・・  ④ー電=20
                            ⑤-電=25 より①=5  

  通過算以前でこれ出題してもよいね・・・   ニュートン算タイプもあり
   ニュートン算でもまったくの同一問題を見せるのもあり。

流水算とかも

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兄は家を出て駅に向かいました。しばらくして弟が兄の忘れ物に気がつき、自転車で兄を追いかけました。弟が分速150mの速さであれば5分で追いつき、分速135mであれば6分で追いつきます。弟が兄を追いかけたのは、兄が家を出てから何分後ですか。
 →行列並びはじめと似ているでしょ! 通過算版も

はじめの差 ÷ (150-兄)=5
はじめの差 ÷ (135-兄)=6

はじめの差 ÷ (150-兄)=5
450        90        兄60
はじめの差 ÷ (135-兄)=6
              75

450÷75=6分
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★底面積と体積
1分数の導入

  子供にとってみたら、分数の導入は全く意味不明なできごと。
使いまくって身体化するしかない。理屈で攻めるのは愚の骨頂。
(分数の割り算はなぜひっくり返すのか?がトピックになることがあるけど、そもそも二つの数字を縦に並べている時点で不思議におもうべき)
結局分数は比です(実際に言葉もそうです。英語とか)

1 7分の2とは1を7等分した分数の2つ分である
   (この時点で足し算、掛け算のルールを暗黙のものとしている)

2 7分の2とはつまり、2割る7の商である(等しい小数の存在)
   (これは約分、倍分につながる所だけど、決して直観的ではな、約分はまったく別のルールとして身体化させるべき)

3 約分、倍分から通分へ。分数の加減をマスター

4 分数の掛け算、割り算
  これは徹底的にルールありきで。

●マスターしたころに、矛盾がないことの確認をするのは頭の体操としてありかも。
例1  5分の3×6分の1を小数表示すると
0.6×0.1666666

例2  四角形を分割した図での理解