面積図と比

平均は面積図と相性が良く、「食塩水の混合」へとつながっていきます。

面積図と比

例題2

あるクラスで算数の小テストをしました。
男子18人の平均点は67.5点でした。
女子15人の平均点は70.8点でした。
このクラス全員の平均点は何点ですか。

解説

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面積図なしでも解けますね。

男子の合計点は、67.5×18 =1215
女子の合計点は、70.8×15=1062
だから、クラス全員33人の合計点は、

(1215+1062)÷33=69  
なので、69点です。

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大正解です。
この問題を、面積図を使って解くとどうなるか見ていくよ。
今行った、ちょっと面倒な計算がほとんど必要なくなるんだ。

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男子18人の平均点は67.5点、
女子15人の平均点は70.8点。
下図のような面積図で表せる。


中学受験算数カンガループリント 比と面積図 0210
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この六角形の面積が、クラス全員33人の合計点なのはわかりますか。


中学受験算数カンガループリント 比と面積図 0200
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はい、大丈夫です。

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クラス全員33人の平均点がA点ならば、33×A=(クラス全員33人の合計点)となるわけだ。このことを表す面積図を、いままでの面積図に重ねてかくと下図になるよ。


中学受験算数カンガループリント 平均と面積図 0222

    

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クラス全員33人の平均点であるA点は、67.5より高くて70.8より低い点数だよ。わかるかな?

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はい、大丈夫です。

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もともとかいてあった六角形の面積が、クラス全員33人の合計点を表す。
そして、重ねてかいた、高さA点の長方形の面積も、クラス全員33人の合計点を表す。
つまり、2つの図形の面積は等しいということです。

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はい、そうですね。わかります。

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ということは「平らに均す」という発想で図を見てみると・・・

ピンク色の部分を削って、左下の部分を埋めて平らに均すということです。
つまり、ピンク色の長方形と白色の長方形は面積が等しいのです!!


中学受験算数カンガループリント 比と面積図 0240

       

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なるほど!!

     

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「長方形の面積=たて×よこ」だよね。 
今回はよこがわかっていて、たてがわからない。
たてを下図のように、P、Qとおくよ。


中学受験算数カンガループリント 比と面積図 0250

   

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ピンク色の長方形の面積は、18×P
白色の長方形の面積は、15×Q
これらが等しいのだから、
18×P=15×Q
      
この等式を見てすぐに頭に浮かぶべきことがあるのだけれど、わかるよね?

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はい!逆比です。
P:Q=15:18=5:6
つまり、P=⑤、Q=⑥で2つの積が等しくなります。
18×⑤=15×⑥

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大正解!!
このことを図に入れると


中学受験算数カンガループリント 比と面積図 0260

   

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⑤+⑥=⑪
⑪=70.8-67.5=3.3 だね。

つまり、①=0.3
⑤=1.5なので、67.5+1.5=69

あるいは、
⑥=1.8なので、70.8-1.8=69


中学受験算数カンガループリント 比と面積図 0270

  

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なるほど。面倒な計算をしないで済みましたね。

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