逆比

商品Aなら10個買えるのに、商品Bなら5個し買えない。このとき、AとBの1個あたりの値段の比は、10と5を逆にした、5:10=1:2となります。「比」が逆になるこのような関係を「逆比」とよびます。。

1:かけ算が等号で結ばれるとき

例題1

Aの3倍とBの4倍が等しいとき、AとBの比を求めなさい。

解説

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A×3=B×4
ということですね。

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そうだよ。これも等式だ。1つ前の単元で学習したやつだね。
問題文から等式がつくれるなんて成長しているね!

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A×3=B×4が成り立つのは直感的に、A=④、B=③のときとわかります。
   
A   B
④×3=③×4  

逆にすればよいことがわかります。
九九もそうでした。「四三(シサン)12」と「三四(サンシ)12」です。
    
答えは、A:B=4:3です。   

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うん正解。簡単だったね。
この例題のように「2つのかけ算が等しい」ならば、
逆の数をかけている、ということはあたりまえの事実として暗記しておいてね。

で、さらに別の見方もしておくよ。

    

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上の解き方は結果的に
A   B
④×3=③×4=⑫ 

となっていて、⑫でAとBが結ばれています。
そして、AとBを結ぶ値はどんな数値でもいいわけです。

例えば、①にすると、
A×3=B×4=① 

このとき、

A=\(\displaystyle \frac{1}{3}\)、B=\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

となります。

A   B
\(\displaystyle \frac{1}{3}\)×3=\(\displaystyle \frac{1}{4}\)×4=①

これは、「逆数をとる」ことで等式が成り立っているわけです。

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「逆数」って知らないです。  

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逆数はね、分子と分母を逆に入れかえた数のことなんだ。

例えば、

\(\displaystyle \frac{2}{3}\) の逆数は、\(\displaystyle \frac{3}{2}\)

もちろん、

\(\displaystyle \frac{3}{2}\) の逆数は、\(\displaystyle \frac{2}{3}\) でもある。

また、

7の逆数は、7=\(\displaystyle \frac{7}{1}\) の逆数で、\(\displaystyle \frac{1}{7}\)

どう?簡単でしょ。

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はい、わかりました。

つまり、 
   
A:B=\(\displaystyle \frac{1}{3}\):\(\displaystyle \frac{1}{4}\) = \(\displaystyle \frac{4}{12}\):\(\displaystyle \frac{3}{12}\) =4:3

なるほど、さっきと同じ答えがでました。   

このように2種類の「逆」が成立することがわかりました。
・互いに逆に入れかえる
・逆数をかける
かけ算が等号で結ばれているときに、「逆」になるということは暗記しておきましょう。

さらに研究

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もっともっと深く理解しておこう。
「逆」を知らなかったとしても、ただ計算するだけでも答えは求まるんですよ。

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?どういうことですか?

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A×3=B×4 のAを①でも②でも、なんでも好きな値においてみるわけだ。
例えば、A=①とすると、
①×3=B×4

より、B=〇\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

A:B=1:\(\displaystyle \frac{3}{4}\)= 4:3
ほら、求まったでしょ。

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あ、本当だ。

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等式の変形をすれば仕組みは明らかだよ。

A×3=B×4
という等式を変形する。

両辺を \(\displaystyle \frac{1}{4}\) 倍すれば、

A×3×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)=B×4×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)

つまり、
A×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)=B

ということだからね。

Aをいくつにおこうが、BはAの \(\displaystyle \frac{3}{4}\) 倍なのです。

比は具体値とは無関係で一定だからです。

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なるほどー!等式の変形ってめちゃくちゃ大事ですね!

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その通り!!!

例題1

Aの \(\displaystyle \frac{2}{5}\) 倍とBの \(\displaystyle \frac{3}{4}\) 倍が等しいとき、AとBの比を求めなさい

解説

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さっきと同じですよね。

A× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) =B×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

ということです。 
例題1のときと同様に2種類の逆が成立します。

互いに逆に入れかえる解き方だと

\(\displaystyle \frac{3}{4}\)× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) =\(\displaystyle \frac{2}{5}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

つまり、
A:B=\(\displaystyle \frac{3}{4}\)×\(\displaystyle \frac{2}{5}\) =15:8

逆数をとる解き方だと

\(\displaystyle \frac{5}{2}\)× \(\displaystyle \frac{2}{5}\) =\(\displaystyle \frac{4}{3}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

つまり、
A:B=\(\displaystyle \frac{5}{2}\):\(\displaystyle \frac{4}{3}\) =15:8

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正解!
もちろん逆を意識しないで、ただの計算問題としても処理できますね。
※連比であるともいえます。

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