2つの異なる比をそろえる

例題1

AとBの所持金の比は4:5、BとCの所持金の比は3:4のとき、
AとBとCの所持金の比を求めなさい。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

AとBの所持金の比は4:5だから、
Aを④、Bを⑤とします。

で次は、BとCの所持金の比は3:4だから、

Bを③、Cを④として・・・
あれ、先生!!
Bは⑤なのか③なのか、おかしなことになりました!

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おかしいのは学くんの解き方がおかしいからだよ。

⑤っていうのは線分図を5山に分けたっていう意味だったよね。
Bを3つにわけるならば、その1つ分は①じゃだめだよね。

こういうときは、
①とはちがう1山だという意味を込めて、 とする。


中学受験算数カンガループリント 連比 0010
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じゃあ、A=④で、B=⑤=で、C=ということか。
どうすればいいのかな?


中学受験算数カンガループリント 連比 0020
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ポイントは、「Bを5等分するのか、3等分するのか、どっちにするのか」というところだ。コツを教えるよ。
ずばり、「5等分にも3等分にも対応できる、15等分とする!」

改めて、B=⑮としてみよう。
⑮の3等分は⑤、⑮の5等分は③だ。


中学受験算数カンガループリント 連比 0030
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なるほど、A:B:C=12:15:20だ。

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うん、それで正解だよ。

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ところで。
上の解法と実質同じ解き方を、すっきりと表示する方法があるんだ。

そもそも⑤とか⑮とかは、線分図5等分、15等分したときの1山を表している。

それさえわかっていれば、線分図を15等分した図をかかなくてもOKだったわけだ。
以前にも学習したことだよ
とても便利な表記だよね。

それをふまえて、線分図なしですっきりと解いてしまいましょう。
AとBの比は4:5、
BとCの比は3:4
これを下のようにかきます。


中学受験算数カンガループリント 連比 0040
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Bは5なのか3なのか。
結局どちらでもないっていうことを再確認してね。
Bという線分図を何山に分けようと自由だからね。

このように、2種類の比のどちらにも登場しているのがB、
Bでつながっているんだ。
この共通部分Bを、2つの比の最小公倍数にするのがコツ。
今回の例なら15にしてみよう。


中学受験算数カンガループリント 連比 0050
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AとBの比は4:5=12:15だ、。


中学受験算数カンガループリント 連比 0060
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BとCの比は3:4=15:20


中学受験算数カンガループリント 連比 0070
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これで、求まったね。
A:B:C=12:15:20だ。
この解法を「連比」と呼んでいる先生もとても多いよ。
連比とは3つ以上を並べる比のことだけど、
今回のように最小公倍数で揃えるこの解法を「連比」と呼でいることが多い。

今後、先生もこれを「連比」と呼ぶことにするよ。

ポイントをくりかえすと、
2種類の比は共通部分を最小公倍数にして、まとめて連比にできる!

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なるほど。スッキリ解けますね。

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うん。このまとめ方はとても便利だから、しっかり使いこなせるようになろうね。線分図で解いたときと「考え方はまったく同じ解き方」なんだけど、表記がすっきりと便利になった解き方だよ。

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さらにもう1つの解き方を確認しておきたい。
「比・割合」というのは、結局は「~倍」を表しているにすぎないのだったよね。
これは最重要ポイントなんだけど、覚えているよね。

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あ、はい。そうでしたね。

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だから、かけ算をするだけでこの問題は解ける。
AとBの比は4:5なのだから、
A=④、B=⑤とする。
次に、BとCの比は3:4とある。
これをかけ算の式に書き直してみて。

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B× \(\displaystyle \frac{4}{3}\)=C
ですね。

保護者さまへ
これが即答できない生徒がほとんどです。これは「暗記」事項なのです。ひらめきでもなんでもありません!しっかりと暗記させましょう。
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あ、B=⑤だから、
これは図かな・・・バックに背景色入れて
⑤× \(\displaystyle \frac{4}{3}\)=○\(\displaystyle \frac{20}{3}\)
ですね。

A=④、B=⑤、C=○\(\displaystyle \frac{20}{3}\)
だから、
A:B:C=4:5:\(\displaystyle \frac{20}{3}\)=12:15:20

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大正解。
比は分数(のかけ算)にすぎないっていう基本を忘れないでね。
楽勝だよね。

このタイプの問題を、分数のかけ算で処理しても、「連比」で処理しても
どちらでも構わないよ。
ただね、「連比」ですっきりとまとめられる問題の方がやや多いかなあ。
もちろん分数のかけ算をした方がすっきり解ける問題だってある。
どちらでも解けることが大事だよ。

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