旅人算はとても多くの問題パターンがあります。比を使わなくとも解答可能な範囲での、「旅人算応用編」です。大雑把に言えば、5年生レベルの応用編です。

1:旅人算やや応用

目次

  1. 3人が登場するタイプ

1:3人が登場するタイプ

例題1

Aくんは分速85mで、Bくんは分速45mで、P地点からQ地点に進みます。また、CくんはQ地点からP地点に向かって分速75mの速さで進みます。3人が同時に出発して12分後にAくんはCくんに出会いました。CくんがBくんと出会うのは3人が同時に出発してから何分後ですか。

解説

保護者さまへ
   
3人を同時に扱う計算方法を習ってないよー!とか言わせないでください。
そんなものはありません。3人のうち2人を選んで旅人算をするだけです。
この問題も特に何も教えずに与えて、自力でチャレンジさせたい問題です。
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うわっ。3人います。
これははじめてです。習ってないです!

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うん。登場人物が3人だろうが4人だろうが、特に新しく教えることはないよ。
教えることは
「今まで習ったことで解けるから安心して問題に打ち込め!」
ってことかな。

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えー。そうなの・・・

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うん。「まだ習ってない何かを使って解くのかもしれない、不安だな・・・」という気持ちでは全力で取り組めないでしょ。
「今まで習ったことで解ける」
という情報は、凄く重要な情報なんだよ。さあ、ガンバレ!

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はい。じゃあ解いてみます。
まずは12分後の図かな。

A は、85×12=1020(m)
B は、45×12=540(m)
C は、75×12=900(m)

このときBとCは、1020-540=480(m)離れてる!
それで、出会いの旅人算だ。


中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0010
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480÷(45+75)=4

4分です。

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正しく解けているのだけれど、これを答案にかくと×(バツ)だな。

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出発してからの時間でしたね。
12分後の、さらに4分後だから、16分です。

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それで正解。
PQ間の距離が1920mと分かったから、
その間をBとCが出会いの旅人算としても解けるね。

1920÷(45+75)=16分

以下練習問題の配置についてはまだ
ここの類題集の扱いは課題!

例題1

難-この問題を例題に昇格させるかどうかを考えよう————————–
Aさんは分速75mで、B君は分速50mで、P地点からQ地点に進みます。また、C君はQ地点からP地点に向かって分速80mの速さで進みます。AとC出会ってから4分後に、BとCが出会いました。PQ間の距離は何mですか。
A———————————— ———————-C
B——————-
      BとCの4分の出会い = ABの差

解説

—————————————————————————————
AとBは、P地点からQ地点へ、CはQ地点からP地点に向かって進みます。PQ間の距離は3240mです。分速80mの速さで進みます。AとCであってから4分後に、BとCが出会いました。A分速100mCの分速が80のとき、Bのはyさは、
A———————————— ———————-C
B——————-
            ふつうの計算

超難 逆比使う ここじゃない———————————–
Aさんは分速75mで、B君は分速50mで、P地点からQ地点に進みます。また、C君はQ地点からP地点に向かって一定の速さで進みます。AとCであってから4分後に、BとCが出会いました。PQ間の距離は2400mです。Cの分速は?
75 A———————————— ———————-C ?
50 B——————-
            
——————————————————————————————
良難
一周3000mの池の周りをAとBは時計まわりに、Cは反時計まわりに、同時に同じ場所から出発しました。AとCは出発から20分、BとCは出発から30分ではじめて出会いました。AがBにはじめて追いつくのは、出発から何分後ですか。

保護者さまへ
  
特に何も教えなくても、どんどん解く子は解きます。逆に、ここで手が止まる子は、解き方を手取り足取り習った問題しか解けないかなりまずい状態です。算数とは習った公式に数字を入れて計算するものだと思っています。特に新しく教えることはない、もうすでにこの問題を解くために知識は教えてあるよ、といって1人立ちさせてください。3分くらいまったく手が動かずに白紙ならば、2人の情景図をかくよう声かけ。それでも手が動かないなら、1分後の絵をかかせ、2分後の絵をかかせ、3分後、4分後・・・とわかるまでかかせます。
 

例題2

1周2.4kmの池の周りを、同じ場所からAとBが同時に出発して、同じ方向に進めばAはBに80分後に追いつき、反対方向に進めば16分で出会います。Aの速さは分速何mですか。

解説

保護者さまへ
  
池の周りをまわる問題を習熟していることが前提の問題です。
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80分で追いつく。
これは、80分でAがBに1周分差をつけるという意味だから、
80分で2400mの差、
つまり、1分で30mの差
(Aの分速)-(Bの分速)=分速30m

16分で出会う。   
これは、16分でAとBの進んだ距離の和が池1周という意味だから、
16分で和が2400m、
つまり、1分で和が150m
(Aの分速)+(Bの分速)=分速150m

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うん。基本事項は忘れていないようだね。
もう問題文には何の情報も残っていないからね。
今まで求めたことを使って次に進むしかないね。

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(Aの分速)-(Bの分速)=分速30m
(Aの分速)+(Bの分速)=分速150m

和と差がわかったんだから、和差算ですね。
   
和差算をして、
(Aの分速)=分速90m
(Bの分速)=分速60m

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OK!カンペキだ。
「和差算」はこのように、文章題の一部分として使うことがよくあるんだ。
「和と差がわかったとき」に和差算を使う。
とてもわかりやすいから難しくないね。

ーーーー練習類題の作成
  

———導入基礎例題 真ん中で出会う—————

例題3

Aは学校から公園に向かって午前9時に出発しました。Bは公園から学校に向かって、午前9時3分に出発しました。2人は学校と公園のちょうど真ん中のP地点で出会いました。Aは分速75m、Bは分速100mのとき、学校から公園までの距離を求めなさい。

解説

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とにかく図示ですね!

えーーと、これは2段階ですね。

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うん。まずは第1関門突破だね。

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第1ステージ
はじめの3分間は、Aだけが動いてます。

第2ステージ
その後、AとBが出会いの旅人算です。

下図のようになりますね。

    
中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0020

 

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で・・・次が分からないな・・・

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今までやってきたことは限られているよ。どれを使えばいいか考えるんだよ。

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えーーー!和差算じゃないし。つるかめ算・・・?  

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ちゃんと考えてますか?
さすがにつるかめ算じゃないってすぐにわかってね。

2人が、9時3分から出会うまで、ヨーイ・ドンで進んでるんだよ。

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旅人算です・・・よね?

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そう。旅人算だ。旅人算は大きくわけると2パターンだ。
何と何だった?

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「出会い」と「追いつき」かな。

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30点かな。間違いとは言わないけど、それではこの問題は解けない。

旅人算は、「2人の進んだ距離の和」に着目するか、「2人の進んだ距離の差」に着目するか。この2パターンだ。
改めて覚えなおしてください。

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はい。
ということは・・・今回は・・・「出会い」だから「和」な気がするんだけど・・・

 

図・再掲  
中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0020

     
  

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和だと、「225m」の結びつかないでしょ。
今回は「2人の進んだ距離の差」に着目してごらん。

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あ!「2人の進んだ距離の差」が225mだ!!

         

 
中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0030
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ああ、そういうことか。あとは計算するだけですね。
Aが分速75m
Bが分速100m
2人の進んだ距離の差が225mになるのは、
225÷(100-75)=9(分)
  
Bが9分で進んだ距離の2倍が、学校から公園までの距離だから、
100×9×2=1800m

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正解です。

確かをしておこうか。
Aは、3+9=12分かけて、真ん中まで進んだから、
75×12×2=1800m
BでだしてもAでだしても同じ答え、矛盾がないね!

なかなか難しくなってきたね。基本が完璧に身についていないようなら、前に戻って基礎固めをしてからにしようね。

  
—導入基礎例題—同時 まんなかpart2 こっちの方がむずい

例題4

Aは学校から公園に向かって、Bは公園から学校に向かって、午前9時に同時に出発しました。2人は、公園と学校のちょうど真ん中にあるP地点より、180m公園に近いQ地点で出会いました。Aの進む速さが分速80m、Bの進む速さが分速60mのとき、学校から公園までの距離を求めなさい。

解説

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あれ、何か簡単な気がします。
AとBで、進む距離の差が180mになったときに出会った。
180÷(80-60)=9

つまり、9分後に2人が出会ったから、
(80+60)×9=1260m
   
学校から公園までは1260mです!

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間違いです。
もう、見事にこちらのねらい通りに間違えてくれましたね。
多くの子どもが、学くんと同じ間違いをするんだよ。

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え?間違ってる・・・?

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うん。きちんと図示をして解いてみてください。

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図はこうなりますね・・・

     


中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0040
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で?どうする?

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今までやってきたのは、AとB2人の進んだ距離の和か、差に着目すれば解けました。
まず、和は・・・わからない。

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うん、和はわからないで正解。

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差は・・・180m

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それがダメ。間違ってる。

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?え・・・180mじゃないの?
えっと・・・

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2本の線分の長さの差を取りたいのだよね。
線分図の頭をそろえてかくんだよ。

        


中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0050
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あ、AはBより、180×2=360(m)長い!
そうかあ。わかりました。
あとは、ただ計算するだけですね。

AがBより360m多く進むのは、
360÷(80-60)=18(分後)

2人は18分かけて出会ったのだから、
(80+60)×18=2520m

求まりました。2520mです。

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OK!
正解です。
慎重に問題を整理して解かないといけないことがわかってくれたと思う。
何も考えずに適当に計算したって正解にはならない、しっかりていねいに解いていくことが大事なのだよ。

これ簡単版ーーーーーーーーーーーーーーーーー
Aは学校から公園に向かって、Bは公園から学校に向かって、午前9時に同時に出発しました。 
2人は午前9時10分に真ん中より200m公園に近いQ地点で出会いました。Aの進む速さが分速80mのとき、学校から公園までの距離を求めなさい。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

———導入基礎例題  速さのつるかめ—————————–
タイトルなしで、子どもに解かせたいな・・・

例題1

太郎は7時30分にP地点を出て,分速250mで走ってQ地点に向かいましたが、疲れたので途中から分速80mで歩きました。すると7時51分にQ地点につきました。PQ間の距離が2700mとすると、太郎が歩きはじめた時刻は何時何分ですか。

解説

保護者さまへ
  
はじめてこの問題を与えられて、解けなくてもかまいません。習ってないから解けない、という子どもはたくさんいます。しかし、算数の真にできる自ら解き進める力のある子は、この問題を習っていない問題とは思いません。自力で解く子もいるのが現実です。
 

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あれ、登場人物が1人だ。
旅人算じゃないのかな?

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そうかもしれないね。自力でやれるところまでやってみようか。

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こんな図になりますね・・・


中学受験算数カンガループリント 旅人算5年応用 0090
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うん。何か気づけるかな?

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わかんないです・・・全部で25分かかっています・・・

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いいでしょう。
これは自力で気づけなくとも良しとする問題かな。
はじめてだし教えます。

これは「つるかめ算」で解けるんだよ。
どう?言われたら納得かな?

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え?足もないし、1匹とか1個とかないけど・・・

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「速さのつるかめ算」なのです。

7時30分から7時51分までの21分間、
もし、ずっと分速80mで進めば?

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80×21=1680(m)進みます。

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これは下図のような面積図で表せる。


中学受験算数カンガループリント 速さのつるかめ算1

       

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「たて(速さ)」×「横(時間)」=「面積(距離)」

ということです。
面積で、進んだ距離を表せるでしょ。

では、ア分間は分速250mで進み、イ分間は分速80mで進んだことを
面積図で表してみよう。
ア+イ=21(分)だよ。


中学受験算数カンガループリント 速さのつるかめ算2

         

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ああ、なるほど。確かにつるかめ算ですね。これ。

80×21=1680(m)
2700-1680=1020(m)
1020÷(250-80)=6

つまり、
分速250mで6分
分速80mで、21-6=15分
進んだ。
太郎が歩き始めたのは、スタートから6分後だから、7時36分です。

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正解です。

分速250mで6分進めば、1500m
分速80mで15分進めば、1200m
合計2700mでうまくいっていることが確かめられますね!

       

保護者さまへ
  
「つるかめ算」を使わない別解もあります。
ずっと分速250mで走った場合、7時38分にQ地点に着きます。
これは実際とは17分の差があります。
つまり7時38分に実際は、80×17=1360m、Q地点の手前にいたことがわかります。これだけの差が着くのは何分かかるのか、旅人算で解くこともできます。

ここもう少し まだ終わってない

おすすめしません。つるかめ算の仕組みが問題文にでてきたら、反射的につるかめ算とわかるように訓練したいです。

 
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旅人算 すこし複雑———————-
Aが9時に学校を出発、分速80mで駅に向かう。駅から9時5分にBが分速70mで学校に向かう。9時