速さと比・同じ時間進む

異なる速さで進む2人が、同じ時間進むとどうなるのか。速さの問題の構成要素として、最重要のものの1つです。

同じ時間進むタイプ

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ずいぶん速さと比に慣れてきたようだね。

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はい
(速さ)×(時間)=(距離) 
で計算するだけですもん。
簡単ですよ。

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その通り、その調子でどんどんいこう!
まずは前回のおさらいをしておくよ。

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速さの文章題のほぼすべてが、速さの異なる2人(車でも自転車でもいいけど)が登場します。そして、その2人を比べて解きます。
比べるということは、つまり「比」を使って解きます。

(速さの比)×(時間の比)=(距離の比)   

この3つの要素のうち、2つ要素の比が問題で与えられます。
そして、最後の1つの比を計算するのです。これだけなのです。
これ以上何も出てきません。

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はい、大丈夫です。
ここまではわかりますよ!

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よろしい!
ではいよいよ次の話に進んでいくぞ!

保護者さまへ
   
※3人登場する問題もあるが、3人を同時に扱うことはできないため、そのうちの2人に着目して解いていきます。

※3人のうちの1人の視点からみると、自分は止まっていて、残りの2人がどう動いて見えるか、という上級技もあります。

※速さの問題には、ここまでにでてきていない「特殊解法テクニック」が、まだあると言えばあります。しかし、それは枝葉です。太い幹、強固な根っこを育てておくことが最重要優先事項です。「特殊解法テクニック」は知らないまま中学受験が終わっても、なんの問題もありません。

 

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「速さと比」なのですが、特に重要となる3つのケースがあります。

・2人の進む時間が同じとき
・2人の進む距離が同じ解き
・2人の速さが同じとき

今までと異なる新しい何かを学習するのではありません。
特に意識的に注意すべき定番パターンの確認をしていくのです。
まずは
・2人の進む時間が同じとき
これから見ていきましょう!

登場する2人が、同じ時間を進むケース

2人の進む時間が同じとき
とは、時間の比が1:1ということです。


速さ   ×   時間 = 距離
3    ×   1  = 3
5    ×   1  = 5

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あたりまえですが、上の式のように、速さの比と距離の比が同じになります。
この事実は言葉で暗記するというよりも、あたりまえ過ぎてだから何?って感じで掴んでおいて欲しい事実です。

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確かに、これは当たり前ですね。

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そうだよね。でも、慣れてないと文章題の中でこの事実をうまく使えないんだ。そんな生徒をものすごくたくさん見てきたよ。

登場する2人が、同じ時間を進むケースとは、旅人算の状況です。
今まで旅人算で解決してきた問題を比で解決することが可能です。
これからは、どんどん比を使う練習をしていきましょう。
ただし、比を用いずに今ままで通りに旅人算を用いて解くことも決して悪いわけではありません。普段の勉強時にはできるだけ比を使って簡略化できないかを検討しましょう。
時間制限のあるテストにおいては、その時に思いついた解法で解けばかまいません。

例題1

PQ間36kmの道のりを 太郎はP地点から時速5kmでQ地点に向かって、次郎Q地点からは時速4kmでP地点に向かって同時に出発した。2人が出会うのは、出発してから何時間後ですか。またPから何kmの地点で出会いますか。

解説

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あれ?これってただの旅人算じゃないですか。

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その通り。よくわかったね。

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そりゃあわかりますよ。
わからなかったらわかるまで先に進まないって、先生に指導されてますから。

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旅人算の基本的な解法を一応確認しておくね。
2人は1時間で5+4=9、
9kmずつ近づく。
     
36÷(5+4)=4時間
出発から4時間で出会う。
P地点から、太郎は4時間進んだから、
5×4=20㎞

以上おしまい。

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基本ですね。わかりますよ。ところで、 
今日のテーマは比ですよね?

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うん、この問題を比で解くとどうなるか考えてみて。

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2人の速さの比は5:4 
あとは・・・えーっと・・・・

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「時間」と「距離」のうち、どちらかの比が与えられているはずだよ。
速さの問題は3つの要素のうち、2つが与えられている問題ばかりだからね。

常に、下図のどこの比がわかるのかを探すこと!


中学受験算数カンガループリント 速さと比 同じ時間入 0001
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「時間の比」も「距離の比」も、問題文に何も書いてませんよ・・・

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書かれていないように見えて、実際は書いてあるんだよ。
でもそれが問題文から読みとれなくて、迷子になってしまう子ばかり。
それが速さの問題の難しさの1つなんだ。
    
文章の表面にある「言葉」だけ探していないで、実際に太郎と次郎がどのように動いたのか、ちゃんと想像してるかい?
してないから分からないんだよ。

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えーっと・・・   
あっ。
太郎と次郎は同じ時間進んでます!
時間の比は1:1です。

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おお!! 
自力でわかったね!
これは教えないと無理かなって思ってたよ。
なかなかやるじゃないか!

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でへへぇ

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同時に出発して、出会う。
まさに旅人算的状況だけれども、
これって2人が「同じ時間」進んでいるんだよね。
時間が1:1だってことだけど、
これはあえて文章で強調はされないからね。
自分で読み解かないといけないよ。 
旅人算的状況は、同じ時間タイプなんだよ!
覚えてしまおうね


中学受験算数カンガループリント 速さと比・同じ時間 0020
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つまり、問題文ではここまで与えられているのね。
あとは計算で出してねってこと。

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もちろん進んだ距離の比は5:4ですね。
こういうことか!


中学受験算数カンガループリント 速さと比・同じ時間 0030        
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⑨=36kmだから、①=4km
よって、⑤=20km
答えは20kmです!

   

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大正解!
 
旅人算でも解けるわけだから、比なんていらないって思うかもしれない。
でもそれじゃあダメだよ。
どんどん新しいことを吸収していこうね。絶対にいいことがあるからね。

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はい、信じてます。

 

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