流水算と比の利用

流水算と比の利用

例題

ある船が川の下流Pから上流Qまでを上るのに65分かかりました。同じところを下るとき、船が故障して、船の静水時の速さが上りのときの60%になりました。下りにかかった時間は52分です。もしQからPまで川の流れに流されれ進むならば、何分で着きますか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

えっと・・・
どこから手をつければいいんだ?

    

吹き出し用カンガルー先生イラスト

流水算は2つの要素がある。

1つは、「普通の速さ」としての処理。

もう1つは、速さのうちわけを考えること。
「上りの速さ」=「静水時の速さ」-「流速」
「下りの速さ」=「静水時の速さ」+「流速」

よく整理して1つ1つ処理していくんですよ。

吹き出し用まなぶくんイラスト

はい、今回もワンパターンですね。
「上り」と「下り」で同じ距離を進んでいます。
だから、速さの比はかかった時間65分と52分の比の逆比。
52:65=4:5

上りの速さは、④
下りの速さは、⑤
とおけます。

そして、速さのうちわけを考えるというワンパターン!
「上りの速さ」=「静水時の速さ」-「流速」
「下りの速さ」=「静水時の速さ」+「流速」
で、船が故障して、船の静水時の速さが上りのときの60%になったのだから、
上りがで下りが

「上りの速さ」④=「静水時の速さ」-「流速」
「下りの速さ」⑤=「静水時の速さ」+「流速」

あとは消去算ですよね・・・
えっと・・・「流速」が符号違いでそろってるから、「流速」を消すかな。

  

吹き出し用カンガルー先生イラスト

うん。カンペキです。
「流速」を消してもいいし、他の○や□をそろえて消してもいいよ。
とにかくやってごらん。

吹き出し用まなぶくんイラスト

「上りの速さ」④=「静水時の速さ」-「流速」
「下りの速さ」⑤=「静水時の速さ」+「流速」

「流速」がはじめからそろっている。
符号が違うので、2つの式の和をとります。
和をとると、
⑨=

で・・・えっと・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

⑨=
ということは、異なる2つの比が、1つにそろえられるということですよ。
〇と□の2つの表現を、1つの表現に統一できるのです。

この式処理は、しっかり覚えましょうね。

 

吹き出し用まなぶくんイラスト

⑨=
なので、最小公倍数の72でそろえます。
⑨==△72とすると、

「上りの速さ」④=「静水時の速さ」-「流速」
「下りの速さ」⑤=「静水時の速さ」+「流速」

は△に統一できます。

「上りの速さ」△32=「静水時の速さ」△45-「流速」△13
「下りの速さ」△40=「静水時の速さ」△27+「流速」△13

吹き出し用カンガルー先生イラスト

その通りです。
つまり、この問題では具体値は最後までわからないんですよ。
仕事算みたいな問題なのです。

 

吹き出し用まなぶくんイラスト

なるほど。

で、求める値は、
QからPまで川の流れで何分かかるか。

QからPまでの距離は、
船の上りで計算すると、△32×65分=△2080
船の下りで計算すると、△40×52分=△2080

「流速」は△13だから、
△2080÷△13=160

求まりました。
160分です!

吹き出し用カンガルー先生イラスト

正解です!

もちろん、最後の計算は、△2080は求める必要はないけどね。

△32×65分の距離を△13の速さで進むから、かかる時間は、

\(\displaystyle \frac{32×65}{13}\)=160

13で約分ができるから計算が楽だよね。

もちろん、上りでも下りでも同じ距離△2080になることで、今までの計算が正しいことを確かめてもいいけどね。

\(\displaystyle \frac{40×52}{13}\)=160

で確かめるのが楽かなあ。