流水算と比の利用

流水算と比の利用

例題1

ある川の上流にA地点、下流にB地点があります。船PがAからBへ、船QがBからAへ同時に出発しました。2つの船は出発から8分後にすれ違い、その4分後に船PはBに着きました。船QがBからAへ上るのにかかる時間は何分ですか。

解説

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ダイヤグラムにまとめてみますね。


中学受験算数カンガループリント 流水算と比0100
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船Pに着目します。
8分で進む距離と4分で進む距離の比は、8:4=2:1


中学受験算数カンガループリント 流水算と比0110
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次に、船Qに着目します。
船Qは、①を進むのに8分かかったから、あと②進むのにかかる時間は16分
より、船Qは、8+16=24
24分かかってBからAまで上りました。

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正解!
ところでさ、この問題は「流水算」だった?

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川を船が上ったり下ったりしてるんだから、「流水算」でしょ。

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あらためて問題を読み直してごらん。
川と船ではなくて、学校から駅までをPくんとQくんが進んだって問題でもいいなじゃないかな。

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ああ、言われてみれば。

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つまり、「流速」に関する考察をしない限り、ただの「速さ」の問題なんですよ。
川だろうが船だろうかね。

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はあ。そうですね。

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かなり大事なことを言ったんだけど、あまりピンときてないようだね。

いいですか。
「流水算」も、普通の「速さ」の問題と同じなのですよ。
基本的な構造はまったく変わらない。
その構造とは、「速さ×時間=距離」のことです。そして、その比の活用です。

今回は、船Pに関して、
(速さ)×(時間)=(距離)
×8分=②
×4分=①

という比の利用をしましたね。

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はい。
「流速」とか「静水時の速さ」とか、まったくでてきませんでした。

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「流速」とか「静水時の速さ」とかは、
(速さ)×(時間)=(距離)という主役の中の、
「速さ」の部分にオマケがついているんです。
それが流水算と呼ばれているもの。とにかく主役は、「速さと比」なんだよ。

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はい。
わっかりましたあ!

例題2

ある川の上流にA地点、下流にB地点があります。船PがAからBへ、船QがBからAへ同時に出発しました。2つの船は出発から8分後にすれ違い、その4分後に船PはBに着きました。船PとQの静水時の速さは、どちらも分速75mです。この川の流れの速さは分速何mか求めなさい。

解説

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「静水時の速さ」と「流速」がでてきましたね!

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うん。
それ以外は、さっき解いた例題と完全に同じですよ。

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そうですね。下図のようになりますね。


中学受験算数カンガループリント 流水算と比0140
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で、今回は、「静水時の速さ」と「流速」の話が追加されているわけだよ。

「上りの速さ」=「静水時の速さ」-「流速」
「下りの速さ」=「静水時の速さ」+「流速」

あとは、これで解くわけです。

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船P、Qはどちらも静水時が分速75mですね。

「上りの速さ」=75-「流速」
「下りの速さ」=75+「流速」

で・・・わからないな・・・

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「上りの速さ」と「下りの速さ」の比がわかりますよ。

速さの比を求めるためには、「時間の比」と「距離の比」がわかる箇所を探せばいいですね。

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4分で進む距離の比が①と②ですね。


中学受験算数カンガループリント 流水算と比0150
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同じ時間に進む距離の比が1:2なら、速さの比は1:2ですね。

つまり、
「上りの速さ」=75-「流速」
「下りの速さ」=75+「流速」

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そういうことです。
あとは消去算をするだけですね。
消去算は、いろいろなところによくでてきますね。
やり方わかるよね?

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はい、□をそろえて消去するやつですよね。

今回は・・・
「上りの速さ」=75-「流速」
「下りの速さ」=75+「流速」

□をにそろえようかな。

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それでも解けるけどね。
おススメは「流速」に着目。符号が逆で、数値は同じだよ。
だから、和をとれば消えます。

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「上りの速さ」=75-「流速」
「下りの速さ」=75+「流速」

和をとると、
=150

なるほど!つまり、
「上りの速さ」50=75-25
「下りの速さ」100=75+25

つまり、流速は25
求まりました。流速は、分速25mです。

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正解です。

今見た通り、流水算で比を活用するのは2パターンあります。
1つ目は、いわゆる「速さと比」の典型的な比の活用。
2つ目は、「上りの速さ」と「下りの速さ」で行う消去算のところ。

どちらか1つの要素だけの問題もあれば、2つの要素が1つの問題の中に入っているものもあるわけです。

ごちゃごちゃにならないように、頭を整理しておいてくださいね。