面積図と比
面積図と比
例題2
あるクラスで算数の小テストをしました。
男子18人の平均点は67.5点でした。
女子15人の平均点は70.8点でした。
このクラス全員の平均点は何点ですか。
解説
面積図なしでも解けますね。
男子の合計点は、67.5×18 =1215
女子の合計点は、70.8×15=1062
だから、クラス全員33人の合計点は、
(1215+1062)÷33=69
なので、69点です。
大正解です。
でも・・・かなり計算が面倒でしたね。
この問題を、面積図を使って解くとどうなるか見ていくよ。
今行った、ちょっと面倒な計算がほとんど必要なくなるんだ。
男子18人の平均点は67.5点、
女子15人の平均点は70.8点。
下図のような面積図で表せる。
この六角形の面積が、クラス全員33人の合計点なのはわかりますか。
はい、大丈夫です。
クラス全員33人の平均点がA点ならば、33×A=(クラス全員33人の合計点)となるわけだ。このことを表す面積図を、いままでの面積図に重ねてかくと下図になるよ。
クラス全員33人の平均点であるA点は、67.5より高くて70.8より低い点数だよ。わかるかな?
はい、大丈夫です。
もともとかいてあった六角形の面積が、クラス全員33人の合計点を表す。
そして、重ねてかいた、高さA点の長方形の面積も、クラス全員33人の合計点を表す。
つまり、2つの図形の面積は等しいということです。
はい、そうですね。わかります。
ということは「平らに均す」という発想で図を見てみると・・・
ピンク色の部分を削って、左下の部分を埋めて平らに均すということです。
つまり、ピンク色の長方形と白色の長方形は面積が等しいのです!!
なるほど!!
「長方形の面積=たて×よこ」だよね。
今回はよこがわかっていて、たてがわからない。
たてを下図のように、P、Qとおくよ。
ピンク色の長方形の面積は、15×P
白色の長方形の面積は、18×Q
これらが等しいのだから、
15×P=18×Q
この等式を見てすぐに頭に浮かぶべきことがあるのだけれど、わかるよね?
はい!逆比です。
P:Q=18:15=6:5
つまり、P=⑥、Q=⑤で2つの積が等しくなります。
15×⑥=18×⑤
大正解!!
このことを図に入れると
⑤+⑥=⑪
⑪=70.8-67.5=3.3 だね。
⑪=3.3なので、
つまり、①=0.3
⑤=1.5なので、67.5+1.5=69
あるいは、
⑥=1.8なので、70.8-1.8=69
なるほど。面倒な計算をしないで済みましたね。