食塩水の総量に着目する
同時に等量交換・同じ濃さ
例題１
容器Ａには５％の食塩水が200ｇ、容器Ｂには13％の食塩水が600ｇ入っています。それぞれの容器から同じ量の食塩水をくみ出しました。Aからくみ出した食塩水をBに、Bからくみだした食塩水をAに入れてよくかきまぜると、２つの容器の食塩水の濃度が同じになりました。
（１） この操作の後、食塩水の濃度は何％になりましたか。
（２） それぞれの容器からくみ出す食塩水は何ｇですか。
解説
これは今までの複数回混合と違いますよね。
うん。そうだね。
今までは、Ａからくみ出した食塩水をＢにいれてよく混ぜて、
それからＢの食塩水をくみ出してＡに戻していた。
順番に、２段階で混合をしていたんだよね。
今回はＡ、Ｂからそれぞれ同時にくみ出して、
ＡからのくみだしをＢへ
ＢからのくみだしをＡへ混ぜている。
同時に、２つの混合をしているんだね。
くみだした量も、濃さもわからない。わからないことだらけですね・・・
どこから解いたらいいのかまったくわかりません。
これははじめて解くタイプだからね。
わからなくても仕方がない。ポイントを教えるよ。
いっしょに解いていこう！
Ｘｇずつくみ出して交換して、どちらもア％になったとします。
これは面積図で以下のようにまとめられる。
ちなみにこの図は、学くんが自分で解くときにはかかなくて良い図です。問題の意味や仕組みを、しっかりと理解してもらうための図だからね。
問題を解くときに、毎回この図をかくのではさすがにたいへんすぎるからね。
さて、解いていくよ。
「はじめの交換する前の食塩水どうしをすべて混ぜた食塩水」
と
「交換の後にできた２つの食塩水を混ぜた食塩水」
はまったく同じものになります。
わかるかな？
確かにそうですね。
「総量」は一定ですからね。
何かが増えたり減ったりしてないです。
そういうことです。
そして、この２つの食塩水の濃さについて見てみるんだ。
「はじめの交換する前の食塩水どうしをすべて混ぜた食塩水」の濃さは、
Ａ：５％を200ｇと B：13％を600ｇを混ぜた食塩水の濃さであり、これは簡単に計算できるね。
濃さは11％です。
何の工夫もなくただ普通に計算で求めるだけだよね。面積図で求めてもよいです。
で、次。
「交換の後にできた２つの食塩水を混ぜた食塩水」の濃さは、
２つのア％の濃さの食塩水をまぜるのだから、まぜたあとの濃さもア％になります。
つまり、ア=11なのです。
これで（１）が求まったわけだ。
交換後は、AもBも濃さが11％になっていて、
それらを混ぜればもちろん濃さが11％になる・・・
なるほど、全部混ぜた濃さが、交換前も交換後も同じ・・・うまい解き方ですね。
これは有名問題なんですよ。
とにかくこの解法を覚えてしまいましょうね。
で、次は交換した量、Ｘｇを求めたいわけだ。
５％と13％を混ぜて11％になったということですから、面積図で簡単に求まります！
Ａで解いてもＢで解いても、Ｘ＝150 と求まります！
150ｇの交換をしたということです。
大正解！
なんだけれど、もっと本質的な解法も理解しておいて欲しい。
ＡもＢも、どちらも、５％と13％をまぜて、11％にしているのだから、５％と13％を同じ比率で混ぜていることがわかります。
そして、その比率を、先ほど学くんは面積図を使って計算をしたのです。
１：３でしたね。
しかし、この比率は計算をしなくてもすぐにわかることなんだ。
なぜなら、はじめの食塩水を２つ混ぜたら11％になるのだから、
「５％」と「13％」は１：３の比率でまぜると11％になるのです。
※「５％200g」と「13％600g」をまぜると11％になる。
だから、ＡもＢも、「５％」と「13％」を１：３の比率でまぜたということがわかります。
なるほど！
Ａにできた濃さ11％の食塩水200gは、５％と13％を、１：３の比率で混ぜてできているのだから、200gを１：３に比例配分して50gと150g
150gがＢからやってきた食塩水。つまり、150ｇの交換をしたと求まる！
うまい解き方ですね。
Ｂの方でも確かめれば
Ｂは600gを1:3に比例配分して150gと450g
150gがＡからやってきた食塩水で、同じ答えを得る。
この150gを求めるためには、（１）の結論11％は一切使っていないことを確認しておこう。
（１）とは無関係に（２）を求めることができるんだ。
全部まぜると何％になるのか、計算で求めなくとも、１：３の比率で混ぜたことはわかるからね。
確かに。
はじめの５％と13％が１：３だったから・・・しか使ってないですね。
同時に等量交換をして、同じ濃さになる。
とても特徴のある問題だね。
しっかりと解法を理解・暗記しておこうね。
別解
「全部まぜたものが、はじめとあとで同じ」
という視点で解いたのだけど、「食塩の量」に着目してみても解けます。
やってみてごらん。
食塩の量に注目ですね。
Ａはじめ：５％の食塩水が200ｇだから、食塩は10g
Ｂはじめ：13％の食塩水が600ｇだから、食塩は78g
交換のあとは・・・
濃さは分からない・・・どちらも濃さがア％になったとする。
全体量は、同じ量の交換だから、はじめと同じになる。
Ａ後：ア％の食塩水が200ｇ
Ｂ後：ア％の食塩水が600ｇ
ＡとＢは同じ濃さになったのだから・・・
同じ濃さの食塩水がＡには200ｇ、Ｂには600ｇあるんだよ。
とけている食塩の量も、200：600＝１：３にわかれているんだ。
合計88ｇの食塩は、22ｇと66ｇにわかれている。
なるほどー。
Ａ後：ア％の食塩水が200ｇに食塩は22g
Ｂ後：ア％の食塩水が600ｇに食塩は66g
A、Bどちらで計算しても、濃さは11％！
うまくいっています。答えが見つかりました。
さっきと同じ答えが出ましたね。
お見事です。正解。
「食塩の量の総量は、はじめとあとで同じ」という解き方でした。