例題１
５時から６時までの間で、長針と短針のなす角が直角になるのは５時何分ですか。
すべて求めなさい。
解説
すべて求めなさい、とありますね。
１回ではないんですね。
もちろん時計の絵をかいてみましょうね。
短針は５と６の間にいるのだから・・・
なるほど！直角は２回ありますね。
今回も長針と短針の旅人算です。
今までと解き方はまったく同じなので、自力で解決してくださいね。
旅人算のスタート地点は、５時０分とします。
このとき、長針は短針から150度おくれています。
長針は短針にどんどん追いついていきます。
まず、150－90＝60
長針が短針に対して60度差をつめたときに直角になります。
長針は１分に６度
短針は１分に0.5度
進むから、
１分で、６－0.5=5.5
5.5度ずつ追いついていく。
60÷5.5＝60÷\(\displaystyle \frac{11}{2}\)＝\(\displaystyle \frac{120}{11}\)＝10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)
10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)分で長針は短針より、60度多くまわる。
５時ちょうどの10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)分後だから、
５時10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)分に２つの針は直角になります。
はい、正解です。
では、あともう１つの時刻を求めましょう！
５時０分を旅人算のスタートとして、
長針が短針よりも150度多くまわったときに、追いつく。
さらにそこから、90度リードしたときが求める時刻。
つまり、５時ちょうどからスタートして、150＋90＝240
長針が短針よりも240度多くまわったときに、２度目の直角になる。
240÷5.5＝240÷\(\displaystyle \frac{11}{2}\)＝\(\displaystyle \frac{480}{11}\)＝43\(\displaystyle \frac{7}{11}\)
43\(\displaystyle \frac{7}{11}\)分で長針は短針より、240度多くまわる。
５時ちょうどの43\(\displaystyle \frac{7}{11}\) 分後だから、
５時43\(\displaystyle \frac{7}{11}\) 分に２つの針は直角になります。
はい、正解です。
ところで、ちょっとした計算の工夫なんだけどね。
まず１回目の直角を求めるために、
60÷5.5＝10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)
と計算をした。
次に、２回目の直角を求めるために、
240÷5.5
を計算することになった。
この計算は、先ほどの計算、60÷5.5＝10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)の４倍の値になるでしょ。
60÷5.5＝①とすると、
240÷5.5＝60×４÷5.5=④
なんだからさ。
なるほど。
ということは、
60÷5.5＝10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)だったから、
240÷5.5＝10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)×４
ということか。
そういうことです。
10\(\displaystyle \frac{10}{11}\)×４＝40\(\displaystyle \frac{40}{11}\)
として、\(\displaystyle \frac{40}{11}\)＝3\(\displaystyle \frac{7}{11}\) とします。
40\(\displaystyle \frac{40}{11}\)とは、40＋\(\displaystyle \frac{40}{11}\) のことなので、
40\(\displaystyle \frac{40}{11}\)＝40＋\(\displaystyle \frac{40}{11}\) ＝40＋3\(\displaystyle \frac{7}{11}\) ＝43\(\displaystyle \frac{7}{11}\)
と求めます。
あとね。
「直角になるのは、必ず１時間に２回ある」
という誤解が起きやすいから注意しておくよ。
ほとんどが２回なんだけど、１回しか起きないときもあるからね。
えっと・・・どうしてだ？
２回にならないときがある？
例えば２時？分。
２時？分に、長針と短針が直角になる時刻を求めよ。
この問いの答えは、１個しかないよ。
へえ。そうなの・・・
実際に時計の針を手動で動かしてみるのが一番わかりやすいんだけどね。
２回目に直角になる時刻が、２時60分なんだよ。
つまり、３時ちょうどに直角になります。
同様に、８時？分に長針と短針が直角になる時刻を求めよ。
この問いの答えも、１個しかないからね。
なるほど！
２回目は８時６０分,つまり９時０分に直角になりますね。