旅人算の標準レベル
例題６
1周720ｍの池の周りをＡは分速90m、Ｂは分速30mで同じ場所から同時に同じ方向に進みました。ＡがＢに追いつくのは出発から何分後ですか。
解説
出会いと違い、初見では考えにくい問題です。自力で答えにたどり着かなくとも問題ありません。
図をかいてみようと思うんですけど・・・
どうやってかいたらいいのか、ちょっとよくわからないなあ。
そうだね。
何分後くらいに追いつくのかな。検討はつくかな？
Ａがどれくらい走ったところでＢに追いつくのかな？
それがわかったら苦労しないです・・・ていうかそれを求めたいんですけど。
まあそうだよね。
正しい情報がないから正しい図がかけない。
だから、正しくない図でもいいからかいてみよう。
何もしないで固まっているよりはマシだよ。
こんな図はどう？
ＡがＢに追いつくってこういうことだ。
なるほど。こんな図になりそうかな。
で、どうしたらこの問題は解けるのかな？考えてみてね。
追いつきの旅人算なんだから・・・
2人の進んだ距離の差に注目かな・・・
うん、正解ですよ！ＡとＢの進んだ距離の差はどうなってる？
図をよく見てごらん。
あ！わかった。
ＡがＢより、１周分多く進んでます。
その通り！！
これが池をぐるぐる回る問題のポイントなんだよ。
速い方が、遅い方に、１周差をつけたときに追いつく。
きちんと理解した上で、必ず暗記してください。
では、問題の答えを出そう。
１周は720ｍ
90－30＝60・・・ＡとＢの１分で進む距離の差
720÷60＝12
12分で追いつきます！
正解！
正しい数値をもとに、正しい図をかいてみようか。
Ａは12分で、90×12＝1080ｍ進む。
１周が720ｍだから、
Ａは720ｍ＋360ｍ進んだ。
つまり、Ａは１周半進んだ。
Ｂは、30×12＝360ｍ
つまり、Ｂは半周進んだ。
下図のようになっているということですね。
なるほど。うまくいってますね。
別の視点から考える
ところでね。さっきの問題なんだけど、2人がスタートしてから１分後の図は簡単にかけるね。
ＡがＢより、60ｍ先を進んでいるわけだけど。
これから何分後に、ＡがＢに追いつくのか考えてみて。
720－60＝660ｍ
ＡはＢに、720－60＝660ｍリードされているとも見えますね。
ＡはＢに対して1分ごとに、90－30＝60ｍずつ差をつめていくから、
660÷60＝11
11分後に追いつきます。
うん、「スタートから1分後」から旅人算をはじめて、11分で追いつくのだから、1+11=12、スタートから12分で追いつく。
もちろん先ほどと同じ答えがでたわけです。
この解き方なら、「速い方が、遅い方に、１周差をつけたときに追いつく」って覚えてなくても解けますね
うん、そうなんだけど、「速い方が、遅い方に、１周差をつけたときに追いつく」は基本中の基本事項として必ず覚えてね。
覚えていないで上のように解くと、２段階で解かなきゃいけないからね。
で、なんでこんな解き方を持ち出したのかいうと・・・
スタートから１秒後のことを考えてみて欲しい。
ＡはＢに対して、ほんの数cmだけリードしている。
見方を変えれば、
ＡはＢに対して、「1周720ｍ－ほんの数cm」を追いつかなくてはならない。
では次に、スタートから0.01秒後のことを考えてみて欲しい。
スタートから0.000001秒後のことを考えてみて欲しい。
スタートから0.000001秒後か。
ＡはＢに対して「ほぼ１周分リードされている」ようなものですね。
だから、「速い方が、遅い方に、１周差をつけたときに追いつく」なんだ。
うん、そういうことだよ！
図示することの難しさ
ところで・・・
Ａが分速70ｍ、Ｂが分速50ｍ。
この２人が池をぐるぐる回るとしよう。
池一周は700ｍとする。
ＡはＢになかなか追いつけないよね。
速さの差が小さいからね。
何周も何周もぐるぐる回ってようやく追いつくことになる。
これを正しく図示してもめちゃくちゃな図になって、何がポイントなのか良くわからない。
とりあえず計算してみると、
700÷（70-50）＝35分
Ａは70×35＝2450ｍ進んだところで追いつく。
これは、2450÷700=3.5だから、Ａが３周半したときに追いつく。
Ｂはその間に、50×35＝1750ｍ、２周半進む。
確かに1周差をつけられたところで追いつかれているね。
で、この状況を正しく図示してみると・・・
ぐちゃぐちゃになって何がなんだかまったくわからないことになる。
例えばＢが池を２周半した図が下図。
この段階ですでに何周したのか、一瞬ではわからないね。
目がまわります。
この図とＡが池を３周半した図を並べたり、重ねて図をかいたり・・・
ぐちゃぐちゃの図にぐちゃぐちゃの図を合わせて。もうまったくお手上げになる。
だから、「速い方が、遅い方に、１周差をつけたときに追いつく」を覚えなくとも、毎回図をかけば導き出せる！というのはちょっと現実的でない。
池をぐるぐる回る問題の図は、このようになることがあるからね。
だからこそ、
「速い方が、遅い方に、１周差をつけたときに追いつく。」
というポイントは、理解した上で暗記しておかないといけない。
サラッと計算だけで答えを出せるようになっておいて欲しい。
「原理や考え方さえ押さえておけば公式暗記はいらない、テストの現場で導いてしまえばいい」は、通用しにくいものだってあるのです。