正六角形に関する重要知識・その７　灘2018

難問です。灘中学校での出題です。
今までの知識とどのように結びつけるか、これこそが算数の難問に対するアプローチです。

２つの解法を示します。

まずは正六角形に対する定番のアプローチです。
正六角形を６等分した正三角形、これを用います。

次の図のように、正六角形の外側に並べます。
底辺も高さも等しい三角形が３つ並ぶことがわかります。

同様に、他の方向にも面積の等しい三角形が並びます。

大きな正三角形全体の面積は、48 \(cm^2\) です。
正六角形ABCDEFは、
48×\(\displaystyle \frac{6}{9}\)＝32 (\(cm^2\))です。

また、次の図の向かいあう２つの三角形の面積の和は等しいです。
高さの合計が等しいからです。

その面積は、正六角形ABCDEFを６等分したうちの２つ分だから、

32×\(\displaystyle \frac{2}{6}\)＝\(\displaystyle \frac{32}{3}\) (\(cm^2\))です。

よって、三角形BCPの面積は

\(\displaystyle \frac{32}{3}\)－８= \(\displaystyle \frac{8}{3}\) (\(cm^2\))

「正三角形の内部の点Pから、それぞれの辺に引いた垂線の長さの和が一定」
この知識を使って解くこともできます。
※くわしくは、「正三角形」で扱っています。

三角形ABP、CDP、EFPの面積の和は、点Pがどこにあっても一定です。
その和は、３＋５＋８＝16 (\(cm^2\))です。

これを３等分すると、\(\displaystyle \frac{16}{3}\) \(cm^2\) ずつになります。

このことから、もとの正六角形の面積が32 \(cm^2\)であることがわかります。
この続きは、はじめの解き方と同じです。