相似の利用
例題８
下の図の正六角形ABCDEFで、点Mは辺BCの真ん中の点、点Nは辺EFの真ん中の点、点Pは辺AFの上にあります。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）Pが辺AFの真ん中の点となるとき、三角形PMNの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。
（２）MPとPNの長さの和が最も小さくなるとき、AP：PFを求めなさい。
解説
（１）Pが辺AFの真ん中のときの三角形PMNの面積
三角形PMNですが、どこを底辺としてどこを高さと見るのが解き易そうでしょうか？
点Pは動く点ですから、MNを底辺とするのが解きやすいですね。
ですから、三角形PMNと面積を比較する相手は、三角形ABFや三角形ACEがよさそうです。
では三角形ABFと比較することにしましょう。
点PがAFのまんなかの点のときです。
三角形PMNと三角形ABFを比較します。
底辺は１：１
高さは1.5倍です。
三角形ABFの面積を１とすると、三角形PMNの面積は1.5、また、正六角形ABCDEFの面積は６です。
より、三角形PMNの面積は正六角形ABCDEFの面積の、\(\displaystyle \frac{1.5}{6}\)＝\(\displaystyle \frac{1}{4}\) です。
（2）MPとPNの長さの和が最も小さくなるときのAP：PF
完全に知識です。
MPとPNですが、鏡AFで反射したようになるときに、その和が最小になります。
つまり、AFが鏡ならば、点Nは鏡の中のどこに見えるかを作図します。
その位置をN´とします。
MとN´を結びます。
AFとの交点が求めるPの位置です。
Pがこの位置にあるときに、MP＋PNが最小になります。
ここまでくれば、あとは普通の平面図形の問題です。
AP：PFはどうすれば求められるのか・・・
平行線がたくさんありますし、相似の定番である砂時計かピラミッドにもちこみましょう。
三角形N´PFと三角形N´MRがピラミッド型相似になっています。
相似比は、高さからわかりますね。
三角形N´PFの高さは、小正三角形の高さの半分
三角形N´MRの高さは、小正三角形の高さの２倍
つまり、相似比は、0.5：２＝１：４です。
よって、PFの長さは、MRの長さの \(\displaystyle \frac{1}{4}\) です。
MRの長さは正三角形の１辺の長さの \(\displaystyle \frac{1}{2}\) なので、
PF=AF×\(\displaystyle \frac{1}{2}\)×\(\displaystyle \frac{1}{4}\)
つまり、PFはAFの\(\displaystyle \frac{1}{8}\)
よって、AP：PF＝７：１
と求まります。