正六角形の基本6分割

例題3−1
次の図において、外側の図形は正六角形で、面積が150 \(cm^2\) とします。
正六角形の内部にある水色部分の面積を求めなさい。

中学受験算数カンガープリント 正六角形0033

解説
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水色の六角形は正六角形ですよね。

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はい、そうです。感覚的にわかるよね。

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で、問題を解くときは、内部の正六角形ではなく、
まわりの三角形に着目します。
すると、今までと同じ解き方で解決します。

中学受験算数カンガープリント 正六角形0034-2
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正六角形を、6つの小正三角形に割ります。
小正三角形の面積は、150÷6=25 (\(cm^2\))

上図の黄色い三角形は、小正三角形と比べて、底辺が \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍。
高さも \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍です。

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よって、25× \(\displaystyle \frac{1}{2}\)× \(\displaystyle \frac{1}{2}\)= \(\displaystyle \frac{25}{4}\) (\(cm^2\))

求める面積は、全体からこの三角形6つを引いたものだから、

150ー \(\displaystyle \frac{25}{4}\)×6=112.5 (\(cm^2\))

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はい、正解です。

別解

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別解として、内側の正六角形を、いつもの6分割します。

中学受験算数カンガープリント 正六角形0036
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それぞれ小正三角形の重心をとって、三角形に分割します。

中学受験算数カンガープリント 正六角形0037
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図形全体が、24等分されます。

とてもきれいな分割ですが、この分割はめったにでてこない分割です。
はじめに紹介した解法を身につけておきましょう。

例題3-2
次の図において、外側の図形は正六角形で、面積が150 \(cm^2\) とします。
正六角形の内部にある水色部分の面積を求めなさい。

中学受験算数カンガープリント 正六角形0038

解説
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先と同じ解き方をするだけですね。

注目するのは、水色の六角形ではなくて、まわりの三角形です。

中学受験算数カンガープリント 正六角形0039-2
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正六角形を、6つの小正三角形に割ります。
小正三角形の面積は、150÷6=25 (\(cm^2\))

小正三角形と比べて、底辺が \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍。
高さは \(\displaystyle \frac{2}{3}\) 倍です。

よって、25× \(\displaystyle \frac{1}{3}\)× \(\displaystyle \frac{2}{3}\)= \(\displaystyle \frac{50}{9}\) (\(cm^2\))

求める面積は、全体からこの三角形6つを引いたものだから、

150ー \(\displaystyle \frac{50}{9}\)×6=\(\displaystyle \frac{350}{3}\)=\(116\displaystyle \frac{2}{3}\) (\(cm^2\))
求まりました。

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正解です。
内側の正六角形を分割しても、決して解きやすくはなりません。