複合問題
- 例題11
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正三角形ABCの辺上に点D、EがありADとDBの長さの比は３：２、AEとECの長さの比は２：３です。また、点Pは正三角形ABCの内側にあります。
正三角形ABCの面積が100 \(cm^2\) のとき、三角形PBCの面積を求めなさい。
ただし、PDとAB、PEとACはそれぞれ垂直です。
- 解説
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筑波大学附属駒場中学校の出題からです。
今まで学んできた知識をフルに使って解きましょう！
やっぱり、垂線を引きたくなりますね。
前問の知識を使うと、BF＝1.5です。
正三角形の１辺の長さが５なら、
５✕1.5−（３＋３）＝1.5
この先はちょっと難しいかな。
今まで正三角形で出てきた、たくさんの性質がこの図の中に見えるかどうか。せっかく求めたBF＝1.5ですから、次の図が見えて欲しいですね。
さらに、これですね。次の図。
垂線を延長すると、ぴったり黒点と結べますね。
そろそろ見えてほしいんだけど・・・難しいかな。
Pが重心に見えてほしかったのですよ。
おお！
こんなきれいな図が隠れているなんて！あとは、正三角形の高さの比に着目して解決できます。
１辺の長さが２の正三角形の高さを⑥とすると、重心で④と②に分けられる。
１辺の長さが３の正三角形の高さが⑨で、
１辺の長さが５の正三角形の高さが⑮となる。よって、三角形ABCの高さが15、三角形PBCの高さが５となるので、
三角形PBCの面積は、三角形ABCの面積の\(\displaystyle \frac{5}{15}\)となり、100×\(\displaystyle \frac{5}{15}\)＝\(\displaystyle \frac{100}{3}\) \(cm^2\)
求まりました！
別解
小正三角形に分割してみましょう。
点Pは、ピンクの小正三角形の重心であることが一目でわかりますね。
よって、小正三角形の高さを３とすれば、次の図のようになります。
よって、三角形ABCの高さが15、三角形PBCの高さが５となるので、
三角形PBCの面積は、三角形ABCの面積の\(\displaystyle \frac{5}{15}\)となり、100×\(\displaystyle \frac{5}{15}\)＝\(\displaystyle \frac{100}{3}\) \(cm^2\)
求まりました！