正３の高さ洛南その８

正三角形の高さ

解説

OCの長さ

三角形OABですが、直角三角形で、８cmと４cm。
１辺が8cmの正三角形の半分です。
つまり、◯の角の大きさは30度。

三角形OABと相似な三角形が、うずまきのように並んでいますね。
OCの長さ・・・まったくわかりませんね。

BからOAに垂線を引いてみたく・・・ならないかな？
結局これも知識なんですよね。知っているから引くべき補助線が見える。

なるほど！直角三角形の相似ですね。
新しくできた直角三角形も、正三角形の半分。

APは、BAの半分で２ｃｍ。
OPは、８−２＝６（ｃｍ）
そして、緑色の三角形は合同です。
わかりました。
OC=６（ｃｍ）

はい、正解です。

面積比

では続いて面積比だね。

となりあう直角三角形の面積比が４：３ですね。

\(\displaystyle \frac{3}{4}\)倍をくりかえしていく。

（三角形OABの面積）×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)×\(\displaystyle \frac{3}{4}\)=（三角形ODEの面積）

つまり、
（三角形OABの面積）×\(\displaystyle \frac{243}{1024}\)=（三角形ODEの面積）
よって、求める面積比は、1024:243です。

はい、正解です。

正三角形の分割

さて、この問題におけるはじめの補助線。
直角三角形を相似な直角三角形２つに分割しましたが、
これは、どんな直角三角形に対しても行われる大事な分割です。

そして、正三角形を半分にした直角三角形においても、大事な分割です。

垂線によって、辺が３：１に分けられます。
これも覚えておいた方がよい重要図形です。

ちなみに、次の図のように合同な４つの直角三角形に分割も可能です。

なんだかきれいな分割ですね。

これは今までにでてきた有名図形配置とも強く関連しています。

正三角形の重心とも関係あるのですね。

はい。このような有名図形配置をもとにして作られる問題は多いのです。
しっかり覚えておきましょう。

正三角形の高さ

さて、今見てきた図形を用いて、正三角形の高さについても学習しておきましょう。

１辺の長さが２ｃｍの正三角形の高さをアｃｍとします。

相似な直角三角形の辺の比に着目すると・・・

ア✕ア＝３
であることがわかります。

直角をはさむ辺の長さの比が１：ア
アcmをア倍すると３cmになる。
だから、ア✕ア＝３ということですね。

はい。
アはどんな値なのかというと、
ア＝1.732・・・
永遠に終わらない小数です。
くりかえしもないため、分数で表示できない値なのです。

正式に習うのは中学生になってからです。
小学生の学習範囲外ということです。
だから、正三角形の高さが積極的に話題になることはありません。
でもね・・・
これを知っていたら楽に解ける問題、実際に出題されています。

正三角形の高さに関する知識が、そのまんま出題されたこともあります。
「１辺の長さが２cmの正三角形の高さをアcmとする。
このとき、１辺の長さがアcmの正方形の面積を求めなさい。」
このような、そのまんまの問題が出題されたこともあります。
答えは、ア✕ア＝３より、３ \(cm^2\) です。
※問題文は上とは違います。例えば、渋谷教育学園幕張中学校で出題されました。
※今回の例題８も、正三角形の高さの知識から解くことも可能です。