正三角形に関する重要知識・その６

正三角形の重心

解説

正六角形と正三角形の面積の比較です。
もちろん正六角形を、６つの小正三角形に分けます。
結局は、正三角形の相似比を求める問題であると理解することが第一歩です。

小正三角形の１辺は、円の半径と等しい。
円の半径の長さを１としてみましょうか。

とりあえず、円の中心から補助線を引くことを第一に考えますよね。
やはり重心なんですね。

「重心」の図を知っていれば、今回もそれが関係ありそうだなと予想できますね。
そして、長さの比が２：１という知識も使えますね。

紫色の直角三角形は、１辺の長さが２（円の半径の２倍）の正三角形を半分にした直角三角形です。

つまり、外側の正三角形の面積は、紫色の直角三角形６つ分だから、
１辺の長さが２の正三角形３つ分です。

１辺の長さが１の正三角形の面積を①とすれば、
１辺の長さが２の正三角形の面積は④

よって、
A（円の内部の正六角形）の面積は、①×６＝⑥
B（円の外部の正三角形）の面積は、④×３＝⑫
よって、Bの面積はAの面積の２倍です。

はい、正解です！

別解

図形Aを円の中で30°回転させると次の図のようになります。

図形Bが12個の三角形に分割されます。
この12個の三角形の面積がすべて等しいことから解決できます。