正三角形とおうぎ形

例題1
下の図は、1辺の長さが10cmの正方形ABCDと、Bを中心とする半径10cmのおうぎ形と、Cを中心とする半径10cmのおうぎ形を組みあわせたものです。
アの角の大きさを求めなさい。

中学受験算数カンガープリント 正三角形0010

解説
吹き出し用カンガルー先生イラスト

アの角を作っているのは、2つのおうぎ形の交点です。
この交点をPとします。

中学受験算数カンガープリント 正三角形0012
吹き出し用カンガルー先生イラスト

アの角について知りたい。
これはつまり、点Pがどのような位置にあるかを知るということです。

点Pは2つのおうぎ形の交点です。
コンパスを使ってこのような交点の作図ってしたことあるでしょ?

吹き出し用まなぶくんイラスト

え!?
あるかなあ・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

絶対にあると思うんですけどね。
これは、正三角形の作図ですよ。

中学受験算数カンガープリント 正三角形0014
吹き出し用まなぶくんイラスト

確かに。
やったことあります。
思い出しました。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい。
有名図形なので、必ず覚えておいてください。

この問題は、正三角形に気づく問題なんです。

中学受験算数カンガープリント 正三角形0016
吹き出し用カンガルー先生イラスト

で、角アの大きさですが、わかりますか?

吹き出し用まなぶくんイラスト

えっと・・・
わからないです。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

角度がわからないとき、「二等辺三角形」を探すことも有効です。
特に、「同じ辺の長さ」があるときは二等辺三角形です。

吹き出し用まなぶくんイラスト

あ!三角形BPAが二等辺三角形だ。

中学受験算数カンガープリント 正三角形0018
吹き出し用まなぶくんイラスト

角Bは、90°ー60°=30°
だから、角アの大きさは、
(180-30)÷2=75

75°ですね!

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はい、正解です。

半径の等しい円を組みあわせることで、正三角形が作られる。
必ず暗記しておかなくてはならない重要ポイントです!