漸化式タイプの場合の数

最後に着目するタイプ

例題1

〇,×,△という3種類の記号を、左から順に一列に並べます。ただし、はじめは〇を並べます。また、同じ記号を3個以上連続して並べることはできません。
この規則で3個並べるのは下のように8通りです。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2310

左から6個並べる場合の並べ方は何通りありますか。

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

まずは4個のときを書き出してみます。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2312
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最後まで樹形図を書き切るのは、けっこうたいへんですね。
「〇△」の続きは、「〇×」の続きと同じ、3+2+3=8
8通りあります。

だから、4個並べるときの並べ方の総数は、
6+8+8=22
22通りですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、あってますよ。

で、この続きはどうかな?
樹形図をかいていくのはかなりたいへんそうだけど・・・

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なんとなく規則はわかったような気がします。

次に何の記号を並べてよいのかは、
「直前の2つ」から決まります。

直前の2つが同じ記号のとき、次は2通りの枝分かれをします。
直線の2つが異なる記号のとき、次は3通りの枝分かれをします。

これを利用できそうです。

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その通りです。
この問題のポイントは、「直前の2つが何か」です。
書き出しをすることで、規則に気づく。
算数の王道です!!

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でも、どうやって解いたらいいのか・・・
よくわからないです。

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一緒に解いていきましょう。
直前の2つが「同じ」なのか「異なる」のか。
これがポイントであることがわかりました。

「直前の2つが同じ記号」、これAタイプとしましょう。
「直線の2つが異なる記号」、これBタイプとしましょう。

Aタイプの次はどうなるか?
Bタイプの次はどうなるか?
これを調べるのです。

中学受験算数カンガープリント 漸化式最後に着目2314-2
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Aタイプの次は、Bタイプが2通りできます。
Bタイプの次は、Aタイプが1通り、Bタイプが2通りできます。

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その通りです。
これを表にまとめていくのです。

2個並べたときと3個並べたときで説明しますね。

2個並べたとき、
Aタイプは1通り
Bタイプは2通りですね。
3個目を並べたとき、
Aタイプの次は、Bタイプが2通りできます。
Bタイプの次は、Aタイプが1通り、Bタイプが2通りできます。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2316
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3個の並べ方は問題文に示された8通り。
そのうち、Aタイプが2通りでBタイプが6通り。
確かにそうなっています!!

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2317
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あとは、同じように表をうめればよいのですね!

4個並べたときのAタイプは、「3個並べたときのBタイプ」と同数。
4個並べたときのBタイプは、「3個並べたときのAタイプの2倍」と「3個並べたときのBタイプの2倍」の和。
これはつまり、「3個並べる総数の2倍」ですね。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2318
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さっき樹形図で求めたのと同じ答えがでました。
4個並べるのは22通りあります!

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はい。
この考え方が正しいことが確かめられたね。
続きを求めてください。

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5個並べるのは60通りあります!

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6個並べるのは164通りあります!

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2320
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正解です!