漸化式タイプの場合の数

最後に着目するタイプ

例題1

白の石と黒の石を、次の規則にしたがって横一列にn個並べます。

規則
・左端には必ず白の石を置く。
・黒の石と黒の石が隣り合わないようにする。

例えば、n=3のときの石の並べ方は下図のように3通りあります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2010
このとき、次の問に答えなさい。

(1)n=4のときの石の並べ方は何通りありますか。
(2)n=5のときの石の並べ方は何通りありますか。
(3)n=10のときの石の並べ方は何通りありますか。

解説

(1)n=4のとき

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N=4のときをかき出してみます。
N=3の続きをかけばいいですね!

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2012
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5通りですね。

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正解です。

(2)n=5のとき

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N=5のときもかき出してみます。
N=4の続きをかきます!

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2014
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8通りですね。

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正解です。

(3)n=10のとき

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n=6のときは、図をかかなくてもわかります。
計算で求める方法がわかりました!

最後が白のとき、次は白か黒の2通りにわかれる。
最後が黒のとき、次は白の1通り。

これが規則です。

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そうですね。書き出しすることで規則に気づく。
算数の王道ですね!

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n=5の8通りのうち、
最後が白は5通り。
最後が黒は3通り。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2015
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最後が白の5通りからは、5×2=10(通り)
最後が黒は3通りからは、3×1=3(通り)

つまり、n=6のとき、
10+3=13
13通りです。

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はい、その通りです。
カンペキな解き方ですね!

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この解き方で、n=10のときの並べ方が求められそうです。

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学くんが見つけたやり方、素晴らしいですね。
この計算を効率よく進めていくために表でまとめることにしましょう。

この問題の最大のポイントは、
最後の石の色です。
白なのか黒なのか。
これについてを表にまとめるのです。

つまり、次の表のようになります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2021
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この考え方を進めていきます。
n=4で、最後が白になるのは、
n=3の「最後が白の2通り」と「最後が黒の1通り」の和、3通りです。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2020
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そして、
n=4で、最後が黒になるのは、
n=3の「最後が白の2通り」からの2通り。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2022
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なるほど!
これをくりかえしていけばいいのですね!

n=5は次の表。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2023
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n=6は次の表。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2024
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確かに。
さっきと同じ答えが求まってます。
n=6のとき、全部で13通り!

これを進めていけば、n=10のときも求まります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2025
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n=10では、89通りです。求まりました!

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正解です。

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ところで・・・
これってフィボナッチ数列じゃないですか?

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そうですね。よく気がついたね。

そもそもフィボナッチ数列は、
「2つ前の数」と「1つ前の数」の和が、「次の数」になる数列だったよね。
今回は、問題文の規則を読んでも、そのような規則は見えてきません。
異なる規則で石の列を作ります。

だから、石の並べ方の総数がフィボナッチ数列になることを予測できる必要はありません。
解いてみたら、結果としてフィボナッチ数列がでてきた。
これで問題ありませんよ。

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はあ、そうですか・・・
でも、なんでフィボナッチ数列がでてきたか気になります。

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一応説明しておきますね。
例えば、n=5のとき。
はじめの2つの石の色は、
(ア)白白
(イ)白黒
この2タイプのどちらかです。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2026
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で、(イ)なんですが、必ず黒の後は白です。

そして、
(ア)は、最後の4個
(イ)は、最後の3個に注目します。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2027
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(ア)の下線部のご石の並べ方は、n=4のときの5通り
(イ)の下線部のご石の並べ方は、n=3のときの3通り
よって、全部で、5+3=8
「2つ前の数」と「1つ前の数」の和が、「次の数」になる数列となります。

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なるほどー!
でも、こんなことは気が付かないですよ!

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そうですね。
これに気づかせるような誘導の小問がついていない限り、これに自力で気づくのは厳しいです。
ですから、はじめの解法で解くのです。
学くんも自力でたどりつけましたよね。

問題文を読めば、「最後の石の色に着目」すれば規則が見えることは自然にたどりつけます。

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そうですね。

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では、おまけにもう1つ。

フィボナッチ数列は階段上りでもでてきたよね。
「1段上り」と「2段上り」を組みあわせて階段を上る上り方の総数。

この石並べの問題は、
白が「1段上り」
白黒をセットにして、「2段上り」とみなせます。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型最後に着目2028
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!こんなの気づけるわけないですよ!!

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そうです、気づけるわけがない。

ですから、はじめの解法で解くのですよ!