漸化式タイプ・その4

フィボナッチ数列タイプの場合の数

タイルのしきつめ

例題1

2辺の長さが10cm、20cmの長方形のタイルと、1辺の長さが20cmの正方形のタイルがそれぞれたくさんあります。これらのタイルで、たて20cmの長方形のかべをすき間がないようにしきつめます。横30cmのかべの場合、タイルのしきつめ方は下図のように5通りあります。では、横60cmのかべの場合、タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0350

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

1つ前の問題とそっくりだから、同じように解けるということですよね。

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はい、同じような考え方で解けます。

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まず右に10cmのしきつめ方は1通り。
これは階段を1段上ることとみなせます。

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右に20㎝のしきつめ方は何通りある?

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えっと・・・
3通りですね。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0352
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はい、その通りです。
このうち、左の図は、「1段上り、1段上り」と見なせる。
真ん中と、右の図は、「2段上り」と見なせるよ。

つまり、この問題では、2段上りのやり方が2通りあるんだ。
「2段上りA」と「2段上りB」だ。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0354
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右足で上るか左足で上るかを区別するようなものですね。

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良い例えだね。

では、右に30㎝のしきつめ方です。この例えなら、階段を3段上る上り方です。
(ア)1段目から、2段上りをするか、
(イ)2段目から、1段上りをするか、どちらかです。
この問題でも「3段上り」がないことを確認してね。

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はい。

(ア)1段目までは1通り、その後の2段上りが2通りあるので、
1×2=2通り

(イ)2段目までは3通り、その後の1段上りが1通りあるので、
3×1=3通り

つまり、合計5通り。
問題の例の5通りが導けました。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0356
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はい、その通りです。
これを表で解くと以下のようになります。

1段まで上る上り方は、
スタートから1段上りで1通り。

2段まで上る上り方は、
スタートから2段上りが2通り
1段目から1段上り、1通り 
これらの合計3通り

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0357
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3段まで上る上り方は、
1段目から2段上り、1×2=2通り
2段目から1段上り、3通り   
これらの合計5通りになります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0358
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同じように表がうまりますよ。
4段まで上る上り方は、
2段目から2段上り、3×2=6通り
3段目から1段上り、5通り   
これらの合計11通りになります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0359
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5段目まで上る上り方は、
3段目から2段上り、5×2=10通り
4段目から1段上り、11通り   
これらの合計21通りですね。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0361
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はい、その通りです。

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6段目まで上る上り方は、
4段目から2段上り、11×2=22通り
5段目から1段上り、21通り   
これらの合計43通りになります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0360
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6段目まで上る上り方は、横60cmのしきつめ方と同じでしたね。
答えは43通りですね。