フィボナッチ数列タイプの場合の数

階段上り

例題1

階段を上るさい、1段上るか、2段上るか、3段上るかのいずれかを組み合わせて上ることにします。
(1)6段の上り方は全部で何通りありますか。
(2)10段の上り方は全部で何通りありますか。

解説

吹き出し用カンガルー先生イラスト

問題を解く仕組みは、明らかに前問と同じですよね。
表でまとめましょう。

1段まで上る上り方は、
スタートから1段上り、1通り。

2段まで上る上り方は、
スタートから2段上り、1通り
1段目から1段上り、1通り 
これらの合計2通り

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0201
吹き出し用カンガルー先生イラスト

3段まで上る上り方は、
スタートから3段上り、1通り
1段目から2段上り、1通り
2段目から1段上り、2通り   
これらの合計4通りになります。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0200
吹き出し用まなぶくんイラスト

4段まで上る上り方は、
1段目から3段上り、1通り
2段目から2段上り、2通り 
3段目から1段上り、4通り   
これらの合計7通りですね。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0202
吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、その通りです。

以下、同じように直前の3つの和が上り方の総数となります。
5段まで上る上り方は、
2+4+7=13通り

6段まで上る上り方は、
4+7+13=24通り

10段まで計算を続けていくだけです。

中学受験算数カンガープリント 場合の数・フィボナッチ型0205
吹き出し用まなぶくんイラスト

10段まで上る上り方は、
7段目から3段上り、44通り
8段目から2段上り、81通り 
9段目から1段上り、149通り   
これらの合計274通り。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、その通りです。

このように、前の3つの数の和が次の数になっている数列は、トリボナッチ数列とも呼ばれます。べつに名前を覚える必要はありませんよ。

吹き出し用まなぶくんイラスト

トリボナッチも数学者ですか?

吹き出し用カンガルー先生イラスト

いいえ。
これは言葉遊びみたいなものなんですけど、
「トリ」は昔のギリシャ語の接頭辞で、3を意味するんです。
接頭辞って言葉の頭につけるものなんですけど、
例えば
トリケラトプス(3つの角の恐竜)
トライアングル
トリオ
全部3でしょ。

この「トリ」と「フィボナッチ」を無理やり合体させた言葉が
「トリボナッチ」
まあ、めちゃくちゃなネーミングなんですよ。

吹き出し用まなぶくんイラスト

はあ・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

ちなみに、
1は「モノ」・・・モノレール、モノラル
2は「ジ」・・・ジレンマ
4は「テトラ」・・・テトラポッド
5は「ペンタ」・・・ペンタゴン
とかね。

6以降も興味があれば調べて見てください。
雑談でした。

コラムかな。
サイコロ問題と
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横一列に並んでいる〇を、左から斜線で消していく。一度に消せる〇の数を1個か2個とした場合、例えば〇の数が3個並んでいるときは次のように3通りある。

           図入れる

一度に何個でも〇を消してもよいとした場合、〇が6個並んでいるとき、すべての〇を消す方法は何通りあるか。 
1 20通り
2 24
3 28
4 32
5 36
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答え 4
解答 出典 10履正社学園豊中
○が階段、消した○まで階段を上ったの見なせば、
1段上り、2段上り・・・6段上りまで可能な、全6段の階段上りと同一視できます。

1段
2段
3段
4段
5段
6段




16
32

前問までの通り、表であっさり答えがでます。 32通りです。

追加問
前問の解説で規則性がありました。N段上る上り方は、2のN乗通りになっています(先の表を確認してください)。
では、どうしてそうなるのか考えてみてください。
発想の転換が必要でおもしろいですよ。

解答
 〇と〇が線でつながっているかいないか、という視点で本問を見てみましょう。
〇と〇の間は5箇所あるので、その5箇所についてそれぞれ、
繋がっている、繋がっていない の2通りの選択があります。
よって、2の5乗=32(通り)となります。