傾いた正三角形

傾いた正三角形

例題1

下の図のような台形ABCDがあります。同じ印のある辺の長さは等しいものとして、次の問に答えなさい。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0702
(1)三角形OBEを、点Oを中心にして、点Eが辺CD上に初めて重なるまで時計回りに回転させました。このとき、四角形ABOEのうち、三角形OBEが通らなかった部分を図に示しなさい。
(2)OEの長さを求めなさい。

解説

吹き出し用カンガルー先生イラスト

これは2001年に開成中で出題された問題です。
本当は小問がもう1問あったのだけど、他と無関係なのでカットしました。

吹き出し用まなぶくんイラスト

8cmがたくさんあるんですね。
つまり、これは正三角形が3つですね。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0704
吹き出し用まなぶくんイラスト

正三角形と、3cmと5cmと8cm・・・
OEの長さって・・・多分7cmですよね。

8cmより少しだけ短いことは図からもわかります。
これきっと
「357」
「578」
「378」
の組合わせなんじゃないですか。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はいその通りです。
まさに、「知っていれば簡単」という問題ですね。
しかし、知らないで解くととてもとても難しいのです。
実際、ほとんどの受験生が壊滅したそうです。

さて、知らないとどうやって解くことになるのか。
(1)の作図から順に見ていきましょう。

まず、Oを中心、OEを半径とするおうぎ形をフリーハンドで作図してみましょうか。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0710
吹き出し用カンガルー先生イラスト

おうぎ形の中心角は、およそ60°くらいに見えますね。
正三角形のある図形ですし、60°回転なのかなと予想できるはずです。

OEだけに着目せず、
「線の入った正三角形OAD」に着目します。
正三角形OADは、60°回転して、正三角形ODCの位置にきます。
そのとき、正三角形に入った線は下図のようになります。

やはり60度回転で正しいことがわかります。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0716
吹き出し用カンガルー先生イラスト

つまり、この回転で、OBはOAまで動きます。
よって、三角形OBEを点Oを中心にして60度回転させます。
このとき、四角形ABOEのうち、三角形OBEが通らなかった部分は、下図のオレンジの小三角形になります。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0718
吹き出し用カンガルー先生イラスト

さて、(2)のOEの長さです。
ナナメ正三角形の面積から求まるということは、今までの類題経験からもわかりますね?

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0720
吹き出し用カンガルー先生イラスト

面積が49
49=7×7なので、
OEの長さは7cmと求まります。

もちろん外側に大きな正三角形を作ってもかまいません。

ちなみに、下図のようになっています。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0770