傾いた正三角形

傾いた正三角形

例題1

図のように、1つの円の周上に5つの点ABCDEがあります。

三角形BDEは1辺の長さが7cmの正三角形です。また、辺ABとCDの長さはそれぞれ5cmで、辺BCとAEの長さはそれぞれ3cmです。このとき、辺ADの長さは何cmですか。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0400

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

「7,5,3名古屋」三角形ですね。

あとは、「578」や「378」がかくれてそうだな・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、その通りです。

吹き出し用まなぶくんイラスト

ADの長さはきっと8cmなんでしょうね。
三角形AEDが「378」で
三角形ABDが「578」ですね、きっと。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0410
吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、正解です。
学くんの予想通り。
ADは8cmです。

これは渋谷教育学園幕張中学で出題されました。

上の有名三角形の知識がないならばどのように解くのか。
ちょっとみて見ましょう。

まず、「357」の2つの三角形が合同であることは、誰もが気づきますね。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0420
吹き出し用カンガルー先生イラスト

そして、正三角形といえば3方向に対称だから、次の図のように
もう1つの357三角形をつけてみたくなるはず・・・

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0430
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この図をみれば・・・
なんとなく正三角形が見えてくる子も多いかな!?

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0450
吹き出し用カンガルー先生イラスト

対称性に着目すれば、この解法が思いつけなくもない・・・
でも簡単でもないよね。

それにこの解き方は、論理的に解いてはいません。
円の内部にできた六角形の内角が、120°である保証はないからです。
正三角形と予想される三角形が、本当に正三角形であるとは限らないのです。

なんとなく見た目で解いているだけです。
入試本番のギリギリの中で、きっと正三角形だろうと予想して回答するのはぜんぜんアリだと思いますけどね。

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はあ。
そうですね・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

なんとなく正三角形に見える!
という解き方ならば、下図もありでしょう。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0460
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おそらくこの問題の正答率はとても低かったと思います。
誘導の小問もないのですから。

なんとなく正三角形を見つけて答えた子と、「357」などの有名三角形を暗記していた少数の子が正解しただけでしょう。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

大人ならは、「円周角の定理」というものを使って解きます。
すると、上の三角形が正三角形であることがきちんとわかります。

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円周角の定理なしで論理的にきちんと解くならばどうなるか。
一応見ておきましょう。

上で見た図形が、確かに正三角形であることを論理的に説明します。
角度について考察します。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0462
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台形BADCが左右対称なので、Bの角とCの角が等しいです。
つまり、
〇+△+60°=?

また三角形の内角より、〇+△+?=180°

2つの式を合わせると、

〇+△+(〇+△+60°)=180°
より、〇+△=60°
?=120°

これで、上で見つけた三角形が、本当に正三角形であると言えます。

吹き出し用まなぶくんイラスト

なるほど・・・

吹き出し用カンガルー先生イラスト

でもね。
「3,5,7」とか知っておいた方が有利だよね。
暗記しておきましょうね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

大人ならば、円周角の定理です。
円周角の定理も、余裕のある受験生は受験直前期に学習しておくとよいでしょう。