傾いた正三角形

傾いた正三角形

例題1

下の図のような三角形ABCがあります。辺ABの長さを求めなさい。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0250

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

辺ABは8cmより短いですね。
もしかして、これも7cmなのではないですか?

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いい予想だね。
確かめてごらん。

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この問題も辺ABを1辺とする傾いた正三角形を作図して、その面積から辺ABの長さが求まるはずだ。
もし辺ABの長さが7cmならば、「3、5、7の三角形」がかくれているはずだから・・

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0260
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三角形ABCが、「357」三角形と1辺が5cmの正三角形にわれました。
やはり辺ABは7cmです。

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はい!正解です。
「357」は絶対に覚えておくべきだけど、もしこの三角形を知らなくてもこの問題は解けます。
もちろん傾いた正三角形の面積から求めるのですよ。

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小三角形のマス目は、毎回かかなくていいよ。
次の図のように解いてしまいましょう。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0270
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1辺が1cmの正三角形の面積を1とします。
大正三角形の1辺は13cm
だから、面積は、13×13=169

まん中の傾いた正三角形の面積は、
169-40×3=49

49=7×7
つまり、ABの長さが7cmと求まります。

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なるほど。
前と同じ解き方ですね。

重要三角形をまとめて暗記の図

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1つの内角が60°の三角形をかいたとき、3つの辺の長さの比がすべて整数となるなんてことはほぼない。
だから、3つの辺の長さの比がすべて整数となるのはとても特別な三角形です。
代表的なものは覚えておくのがいいんだ。

絶対に覚えておくべきが、「3,7,8」と「5,7,8」

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0280
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「名古屋=7,5,3」もありましたね。1つの内角が120°で。
「3,7,8」と「5,7,8」が60°

なんだか、似ているからまぎらわしいですね・・・

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そうだね。
だから、この3つの三角形を一気に覚えられる図形を教えます。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0284
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1辺8cmの正三角形の上に、1辺3cmの正三角形がある図形です。
そして、ナナメ線を1本引きます。
この図形の中に、
「357」
「378」
「578」
の3つが入っています。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0285
中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0286
中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0288
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このナナメ正三角形を題材として問題を作るとき、これら「357」「378」「578」あたりが頻繁に使われます。
他のだと、数値が大きすぎて計算がひどく面倒な問題になってしまうからです。

吹き出し用まなぶくんイラスト

そうなんですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、そうなんですよ。
上の図は覚えておいて損はないですよ。