傾いた正三角形

傾いた正三角形

例題1

下図のように、面積が1 \(cm^2\) の正三角形がしきつめられた平面に、正三角形ABCと正三角形DEFをかきました。正三角形ABCと正三角形DEFの面積をそれぞれ求めなさい。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0100

解説

吹き出し用まなぶくんイラスト

面積が1 \(cm^2\) の正三角形と比較して面積を求めるしかありませんね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

そうですね。「底辺×高さ÷2」で求めるのは無理ですよね。

面積が1 \(cm^2\) の正三角形と比べて、
「底辺が何倍か。」
「高さが何倍か。」
このような三角形が、面積の求められる三角形になります。

三角形ABCを面積の求められる三角形に切り分けます。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0102
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真ん中の赤い正三角形の面積は、小正三角形4つ分。つまり、4\(cm^2\)
外を囲う3つの水色の三角形の面積は、それぞれ、3×1=3 \(cm^2\)
よって、三角形ABCの面積は、4+3×3=13 \(cm^2\)
このように求まります。

三角形DEFも同じように解くことができます。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0103
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真ん中の赤い下向きの正三角形の面積は、小正三角形1つ分。つまり、1\(cm^2\)
外を囲う3つの水色の三角形の面積は、それぞれ、4×3=12 \(cm^2\)
よって、三角形ABCの面積は、1+12×3=37 \(cm^2\)
このように求まります。

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なるほど・・・

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ちなみに、切り分け方は他にもあるんだよ。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0104
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いろいろな分け方があります。

ただし、傾いた正三角形ならば、どんな問題にも共通な解法として
「真ん中に小正三角形、そのまわりを囲う合同な3つの三角形に分けられる」

これが必ず適用できますからね。
このように覚えておきましょう!!

例題2

下図のように、面積が1\(cm^2\) の正三角形がしきつめられた平面があります。
面積が7 \(cm^2\) の正三角形と面積が31 \(cm^2\) の正三角形をそれぞれ作図しなさい。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0105

解説

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傾いた正三角形は、上で見たように、真ん中に小正三角形、その回りを3つの合同な三角形で囲うことで作れます。
真ん中の正三角形の辺を、同じ長さだけ延長すれば作れます。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0110
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風車みたいできれいですね。

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もちろん、延長の方向は逆でも良い。
それに、真ん中の小正三角形は上下さかさまでも良い。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0112
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さて、面積が7 \(cm^2\) の正三角形はすでにさっき見せた図の中にあるね。

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はい、真ん中が1 \(cm^2\) で、回りに2 \(cm^2\) が3つ。
1+2×3=7\(cm^2\)
次の図のようになります。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0111
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では、面積が31 \(cm^2\) の正三角形だね。
真ん中の正三角形の面積で場合分けして探すんだ。
1+10×3
4+9×3
9+22・・・これは無理だ。
16+5×3
25+2×3

どれが作れるか、作図して試してごらん。

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16+5×3ですね!

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0115
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はい、正解です!
探し方さえわかれば、簡単に見つけられますね!!

例題3

下図のように、面積が1\(cm^2\) の正三角形がしきつめられた平面があります。
面積が27 \(cm^2\) の正三角形と面積が25 \(cm^2\) の正三角形をそれぞれ作図しなさい。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0105

解説

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面積27は・・・
1+26・・・無理
4+23・・・無理
9+6×3・・・作図してみれば無理とわかる
16+11・・・無理
25+2・・・無理
これできないです・・・

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はい。
教えてなかったタイプなんです。
真ん中の正三角形が限りなく小さくなって、点のタイプです。
つまり、0\(cm^2\) +9 \(cm^2\)×3

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0117
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そうか・・・こんなタイプもありか・・・

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「平方数」の3倍の面積ならば、このタイプになります。
1×3=3
4×3=12
9×3=27
16×3=48
25×3=75

90度傾いた正三角形だね。

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次は、面積25 \(cm^2\) ですね。
これは平方数そのままだ。
つまり、傾いていない正三角形だ!

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0118
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はい、そういうことです。

外側に着目

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あとね、傾いた正三角形は、
内部だけではなくて、外部に着目も可能なんですよ!

外枠に大きな正三角形。
そこから、合同な3つの三角形を取り除くと、傾いた正三角形が残ります。

中学受験算数カンガープリント 斜め正三角形0119
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なるほどー

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どちらも頭に入れておきましょうね。