例題10

次のように、分子が1以上434以下の整数で、分母が435である分数を小さい順に並べたものを考えます。

\(\displaystyle \frac{1}{435}\)、\(\displaystyle \frac{2}{435}\)、\(\displaystyle \frac{3}{435}\)、・・・・・、\(\displaystyle \frac{434}{435}\)

既約分数ではない分数が最も長く続く並びをすべて求めなさい。
ただし、約分はしないで「\(\displaystyle \frac{□}{435}\)から\(\displaystyle \frac{□}{435}\)」のように答えなさい。

解説

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既約分数ではない分数について考えます。
既約分数の並びを考えることと同じですね。

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そうですね。
分母の435の素因数分解をします。
435=3✕5✕29
つまり、周期は・・・435個周期。
書き出しはしたくないですね。

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そうですね。
書き出しはしなくても、分子全体のイメージが頭に浮かびませんか?
今までしっかり学習してきましたからね。

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約分は、3か5か29によってされる。
3の倍数は、3個ごと。
5の倍数は、5個ごと。
29の倍数は、29個ごと。


中学受験算数カンガループリント 図

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29で約分はたまにしかできない。
とりあえず3と5での約分可能について調べます。

中学受験算数カンガループリント 図

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3または5で約分できる分数は、今調べたような15個周期。
そこに、たまに29で約分できる分数がまぎれこむ!
わかりました。
(15の倍数+4)が29の倍数のとき。
あるいは、
(15の倍数+11)が29の倍数のとき。
このときに、「既約分数でない分数」が4個並びます。これが最も長い並びになります。

中学受験算数カンガループリント 図

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そのとおりです!
素晴らしいですね。

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えっと・・・続きは・・・
(15の倍数+4)が29の倍数のとき。
(15の倍数+11)が29の倍数のとき。
これを見つけます。

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うまく探せそうかな?

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ちょっと・・・面倒かな・・・

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29の倍数はそう多くないですよ。
29✕1から29✕14までの14個しかない。
さらに、ちょっと考えれば、その14個の中から明らかに違うものもわかります。

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なるほど・・・
3や5の倍数ではありませんね。
つまり、
29✕3、29✕5、29✕6、29✕9、29✕10、29✕12
は違う。

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そのとおり。
さらに教えますね。
探すべき29の倍数は、「5の倍数のとなり」です。
つまり、1の位が・・・

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1の位が1か4か6か9なんだ!
なるほど!
つまり、29✕1、29✕4、29✕11、29✕14の4通りだけ調べればいいのか!

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そういうことです。

中学受験算数カンガループリント 図

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探すべき29の倍数は、「3の倍数のとなり」でもありますね。
29✕1=29
28が3の倍数ではないから違う。
29✕4=116
117が3の倍数。
つまり、114、115、116、117が探していた並び。
29✕11=319
318が3の倍数。
つまり、318、319、320、321が探していた並び。
29✕14=406
407が3の倍数ではないから違う。

中学受験算数カンガループリント 図

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319は「15の倍数+4」
116は「15の倍数+11」
うまく見つかりましたね。

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つまり、答えは、
\(\displaystyle \frac{114}{435}\)から\(\displaystyle \frac{117}{435}\)

\(\displaystyle \frac{318}{435}\)から\(\displaystyle \frac{321}{435}\)
この2つです。

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はい、正解です。
この問題は駒場東邦中学校で出題されました。
実際に現場で解くとき、とてもうまい解き方を思いつく必要はありません。
29の倍数を14個、ひたすら調べて答えられれば十分です。

参考

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ここから先は参考程度に。
ちょっと難しめの別解です。

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(15の倍数+4)が29の倍数のとき。⇒29✕ア=15✕イ+4
(15の倍数+11)が29の倍数のとき。⇒29✕ア=15✕イ+11
この不定方程式の処理から答えを見つけることもできます。
ただし、この不定方程式の処理はちょっと難しいです。

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29✕ア=15✕イ+4⇒(15✕2−1)✕ア=15✕イ−11
この式変形から、ア=11、つまり、29✕11=319を見つけることができます。
29✕ア=15✕イ+11⇒(15✕2−1)✕ア=15✕イ−4
この式変形から、ア=4、つまり、29✕4=116を見つけることができます。