例題1

\(\displaystyle \frac{1}{60}\)、\(\displaystyle \frac{2}{60}\)、\(\displaystyle \frac{3}{60}\)、\(\displaystyle \frac{4}{60}\)、・・・・・、\(\displaystyle \frac{60}{60}\)

この中に既約分数は何個ありますか。また、その和はいくつですか。

解説

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分母の60を素因数分解すると、
60=2×2×3×5

2個周期と3個周期と5個周期を合わせると、30個周期。

30個調べて書き出す・・・
面倒ですね・・・

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30個を書き出さなくても済むうまい方法があれば良いですが・・・

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ベン図で解くと、
2の倍数と3の倍数と5の倍数の3重のベン図になりますね。

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その通りです。
30個調べて書き出すか、3重のベン図で解くか。
どちらが楽なのか。

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どっちもどっちかな・・・

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ではミスをしなそうな方を選ぶと良いですね。

きちんと正解が求められそうな方を選んでください。

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30個調べて書き出す方がミスがないかな・・・

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はい、では書き出しで解きましょう。
今回は奇数だけ調べていけば良いですね。
書き出しはかなり簡単に終わると思います。

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1、7、11、13、17、19、23、29
の8個ですね。

だから、分子が60までだと2周期分。
この2周期分の中に、既約分数は8×2=16個

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和は、

(\(\displaystyle \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{59}{60})×16×\displaystyle \frac{1}{2}=8\)

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はい、正解です。

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ちょっとテクニックも教えておきますね。
1周期30までに既約分数の分子が何個あるかを書き出したよね。
この1周期の中の既約分数の分子は、真ん中で左右対称になっていることも以前に学びましたね。
だから、30÷2=15
前半の15まで調べればOKなのです。

1から15までに
1、7、11、13
の4個あることを調べたら、
1から30までには2倍で、
4×2=8個
あることがわかります。

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なるほど・・・
そんな楽をすることもできるんですね。

別解

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ベン図による解法はこうなります。

中学受験算数カンガープリント 既約分数600