例題1

\(\displaystyle \frac{1}{55}\)、\(\displaystyle \frac{2}{55}\)、\(\displaystyle \frac{3}{55}\)、\(\displaystyle \frac{4}{55}\)、・・・・・、\(\displaystyle \frac{55}{55}\)

この中に既約分数はいくつありますか。また、その既約分数の和はいくつですか。

解説

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分母の55を素因数分解すると、
55=5×11

5個周期と11周期を合わせると、55個周期。

え!?
55個調べて書き出すの??

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55個を書き出すのが嫌ならば、うまい方法がないか考えるしかないですね。

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うまい方法ですか・・・
そんなのあるんですか?

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約分できるほうをかきだしたっていいじゃないですか。

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あ!なるほど
5の倍数は、
5、10、15、・・・、55
つまり、55÷5=11個

11の倍数は、
11、22、33、44、55の5個

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5の倍数と11の倍数のどちらにも出てきた数は、55だけ。1個。
つまり、約分できるのは、
11+5-1=15(個)
よって、約分できないのは、55-15=40個

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はい、正解です。

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既約分数40個の和は、

(\(\displaystyle \frac{1}{55}+\displaystyle \frac{54}{55})×40×\displaystyle \frac{1}{2}=20\)

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はい、正解です。

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ところで、今の解き方はベン図で解いたのと同じことなのです。

中学受験算数カンガープリント 既約分数550
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確かに!!

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ベン図による解法も、適宜使っていくのはアリです。
ただしこの解法だと、具体的にどのような既約分数があるのかについての情報は全くわかりません。

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?どういうことですか?

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例えば、
「小さい方から数えて10番目の既約分数を求めなさい。」
このような、具体的な分数の値についての情報は全くわからないということです。

このようなときは、書き出ししかないのです。