立体のくしざし

立体のくしざし

例題1

たて1cm、横1.5cm、高さ2cmの小直方体30個を同じ向きに積んで、下図のような直方体を作ります。

この直方体を下図のように、点Aと点Bを結ぶ直線ABで貫きます。このとき、直線ABが貫いている小直方体は何個ありますか。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし603

解説

吹き出し用カンガルー先生イラスト

タイル切りのとき、似たような問題があったのだけど、覚えてますか?

中学受験算数カンガープリント タイル切り4502
吹き出し用まなぶくんイラスト

はい。
長方形のタイルを並べたときも、正方形のタイルを並べたときと同じように解けました。

今回もきっと同じかな。
立方体を積んだときと同じように解けそうですね。

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その通りです。

たて、横、高さ、いろいろな方向に引き伸ばされようが、通過する直方体の数は変わらないよ。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし610
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つまり、
小立方体を、(5,3,2)に積んだ直方体で考えても、同じ値が求まるということですね。

(5,3)に公約数なし(1以外の)。
(5,2)に公約数なし。
(3,2)に公約数なし。
なので、辺や頂点の通過はなし。
だから、
5+2+3-2=8
求まりました。
直線ABが通過する小直方体は8個ですね。

吹き出し用カンガルー先生イラスト

はい、正解です。
続いてもう1問だ。

例題2

たて15cm、横8cm、高さ20cmの直方体を同じ向きに積んで、体積が最も小さい立方体を作ります。

この立方体を下図のように、点Aと点Bを結ぶ直線ABで貫きます。このとき、直線ABが貫いている直方体は何個ありますか。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし612

解説

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はい。
まずは、立方体の1辺の長さを求めます。

たて15cm、横8cm、高さ20cmの直方体を同じ向きに積んで作るから、
15と8と20の最小公倍数120ですね。

1辺の長さは120cm

つまり、
たて方向は、8個
横方向は、15個
高さ方向は、6個
並べています。

そして、立方体を同じように(8、15、6)並べた直方体の対角線ABで考えてしまえばよい。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし620
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(8,15)に公約数なし。
(8,6)の最大公約数は2
(15,6)の最大公約数は3

なので、辺の通過が下のように3か所で起こる。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし624
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すべて、面を通過するならば、
8+6+15-2=27
で、27個。

しかし、辺の通過が3か所で起こるから、
27-3=24

求まりました。
24個ですね。

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はい、正解です。
素晴らしいですね!