頂点・辺・面の通過回数

例題1

1辺の長さが1cmの小立方体をたてにア個、横にイ個組み合わせて直方体を作りました。次に、これと同じものをウ段につみ、高さがウcmの直方体を作りました。

そして、下図のように点Aと点Bを直線で結びます。
次の(1)から(3)のとき、直線ABが通過する小立方体の頂点、辺、面の数をそれぞれ求めなさい。

(1)ア=10、イ=15、ウ=6のとき
(2)ア=9、イ=15、ウ=6のとき
(3)ア=8、イ=12、ウ=6のとき

中学受験算数カンガループリント 図

(1)ア=10、イ=15、ウ=6

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今まで教えたことで解決できますよ!

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ア=10、イ=15、ウ=6の最大公約数は1なので、頂点の通過はなし。
辺の通過は次の図のようになります。辺の通過は7回です。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし360
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面の通過は・・・どうするんだろう?

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通過した小立方体の個数は求められますよね。
それが直線ABでくしざしになっています。棒だんごみたいなイメージです。
そのだんごとだんごの境目が「頂点か辺か面」なんですよ。

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なるほど!
(小立方体通過個数−1)=頂点通過回数+辺通過回数+面通過回数
植木算ですね。だんごとだんごの境目の数は、だんごの数より1少ない。

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はい、そのとおりです。

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小立方体通過個数は、
10+15+6−2−(4+2+1)=22(個)
よって、
頂点+辺+面=21
頂点が0で、辺が7なので、
面は14
求まりました。
頂点通過回数は0
辺通過回数は7
面通過回数は14

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はい、正解です。

(2)ア=9、イ=15、ウ=6

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ア=9、イ=15、ウ=6の最大公約数は3なので、頂点の通過は2回。
次の図のようになります。

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし420
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たて3、横5、高さ2の小直方体が3個
小直方体内で辺の通過はなし。
小立方体の通過個数は、
3+5+2−2=8

中学受験算数カンガープリント 直方体のくしざし421
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小立方体通過個数は、
(3+5+2−2)×3=24(個)
よって、
頂点+辺+面=23
頂点が2で、辺が0なので、
面は21
求まりました。
頂点通過回数は2
辺通過回数は0
面通過回数は21

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はい、正解です。
小直方体内で面の通過が7と求まるので、
7×3=21
でもOKですね。

(3)ア=8、イ=12、ウ=6

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ア=8、イ=12、ウ=6の最大公約数は2なので、頂点の通過は1回。
次の図のようになります。

中学受験算数カンガループリント 図
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たて4、横6、高さ3の小直方体が2個
小直方体内で辺の通過は、次の図のように3回

中学受験算数カンガループリント 図
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小直方体内で通過する小立方体の数は、
4+6+3−2−(2+1)=8
つまり、全体では16個の小立方体を通過

よって、
頂点+辺+面=15
頂点が1(回)で、辺が、3×2=6(回)なので、
面は8
求まりました。
頂点通過回数は1
辺通過回数は6
面通過回数は8

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はい、正解です。
小直方体内で面の通過が4と求まるので、
4×2=8
でもOKですね。